(2,0 pts) Seja
o sólido descrito pelas inequações
. Considere o campo vetorial dado por
onde
é uma constante. A fronteira de
consiste de um tubo
, uma tampa
e uma base
(oriente-as de tal forma que a fronteira de
esteja orientada positivamente). Se o fluxo de
através de
vale
unidades e o fluxo de
através de
vale
unidades, calcule o fluxo de
através do tubo
. OBS: para resolver esta questão, não será necessário determinar o valor de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sólido
delimitado pelas inequações
e
. Isso descreve um cilindro com raio 1 e altura 1. O campo vetorial dado é:
Queremos calcular o fluxo desse campo vetorial através da superfície lateral
do cilindro, sabendo que os fluxos através das tampas
e
são
e
unidades, respectivamente. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência do campo dentro do volume delimitado por essa superfície.
Passo 2
O Teorema da Divergência afirma que:
Aqui,
é a fronteira do sólido
, que no nosso caso é composta pela superfície lateral
e pelas duas tampas
e
.
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
, que é dada por:
Calculando cada derivada:
Portanto,
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema da Divergência:
Notamos que a parte
é uma função ímpar em relação a
e
, e como estamos integrando sobre um cilindro simétrico, essa parte tende a se anular. Assim, podemos simplificar a integral para:
Passo 5
Calculando o volume do cilindro
:
Portanto,
Passo 6
Segundo o Teorema da Divergência, temos:
Sabemos que:
- Fluxo através de
: - Fluxo através de
:
Substituindo na equação:
Passo 7
Isolando o fluxo através de
:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através do tubo
é igual a
unidades.