(2,0 pts) Seja E o sólido descrito pelas inequações x^2 + y^2 <= 1, 0 <= z <= 1. Considere o campo vetorial dado por
F(x, y, z) = (x + e^(y * z), cos(x^2 * z), z + α * x^2 + y^3)
onde alpha é uma constante. A fronteira de E consiste de um tubo S, uma tampa D1 e uma base D2 (oriente-as de tal forma que a fronteira de E esteja orientada positivamente). Se o fluxo de F através de D1 vale 5 pi unidades e o fluxo de F através de D2 vale -6 pi unidades, calcule o fluxo de F através do tubo S. OBS: para resolver esta questão, não será necessário determinar o valor de alpha.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sólido delimitado pelas inequações e . Isso descreve um cilindro com raio 1 e altura 1. O campo vetorial dado é:
Queremos calcular o fluxo desse campo vetorial através da superfície lateral do cilindro, sabendo que os fluxos através das tampas e são e unidades, respectivamente. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência do campo dentro do volume delimitado por essa superfície.

Passo 2

O Teorema da Divergência afirma que:
Aqui, é a fronteira do sólido , que no nosso caso é composta pela superfície lateral e pelas duas tampas e . é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de , que é dada por:
Calculando cada derivada:
Portanto,

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema da Divergência:
Notamos que a parte é uma função ímpar em relação a e , e como estamos integrando sobre um cilindro simétrico, essa parte tende a se anular. Assim, podemos simplificar a integral para:

Passo 5

Calculando o volume do cilindro :
Portanto,

Passo 6

Segundo o Teorema da Divergência, temos:
Sabemos que:
  • Fluxo através de :
  • Fluxo através de :
Substituindo na equação:

Passo 7

Isolando o fluxo através de :

Resposta

O fluxo do campo vetorial através do tubo é igual a unidades.

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