Calcule
, onde
é a região que está entre os cilindros
e
e entre os planos
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular a integral tripla de
sobre a região
, que está entre os cilindros
e
e entre os planos
e
. Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante quando lidamos com cilindros e simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, qualquer ponto é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto até o eixo (no nosso caso, a origem no plano ), -
é o ângulo em relação ao eixo , -
é a mesma coordenada do sistema cartesiano.
A gente escolheu coordenadas cilíndricas porque a região
é delimitada por cilindros, o que simplifica a descrição dos limites da integração.
Passo 3
Vamos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas. Sabemos que
e o elemento de volume
em coordenadas cilíndricas é dado por
. Então, a integral fica:
Perceba que o
no denominador e o
do elemento de volume se cancelam, simplificando bastante a expressão.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para cada coordenada:
- Para
: a região está entre os cilindros de raio 3 e 6 (já que e ), então . - Para
: como não há restrição angular, varia de a . - Para
: está entre os planos e , então .
Passo 5
Com os limites definidos, podemos escrever a integral tripla separadamente para cada variável:
Vamos resolver essa integral passo a passo, integrando em relação a
, depois a
e, por último, a
.
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 7
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Passo 8
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
O valor da integral tripla é
.