Calcule integral triplaE 3raizx^2+y^2 d V, onde E é a região que está entre os cilindros x^2+y^2=36 e x^2+y^2=9 e entre os planos z=-4 e z=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular a integral tripla de sobre a região , que está entre os cilindros e e entre os planos e . Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante quando lidamos com cilindros e simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, qualquer ponto é representado por , onde:
  • é a distância do ponto até o eixo (no nosso caso, a origem no plano ),
  • é o ângulo em relação ao eixo ,
  • é a mesma coordenada do sistema cartesiano.
A gente escolheu coordenadas cilíndricas porque a região é delimitada por cilindros, o que simplifica a descrição dos limites da integração.

Passo 3

Vamos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas. Sabemos que integral triplaE 3raizx^2+y^2 dV = integral triplaE 3r cdot r , dr , dtheta , dz = integral triplaE 3 , dr , dtheta , dz e o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por . Então, a integral fica:
Perceba que o no denominador e o do elemento de volume se cancelam, simplificando bastante a expressão.

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para cada coordenada:
  • Para : a região está entre os cilindros de raio 3 e 6 (já que e ), então .
  • Para : como não há restrição angular, varia de a .
  • Para : está entre os planos e , então .

Passo 5

Com os limites definidos, podemos escrever a integral tripla separadamente para cada variável:
integral0^2pi integral3^6 integral-4^3 3 , dz , dr , dtheta
Vamos resolver essa integral passo a passo, integrando em relação a , depois a e, por último, a .

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a integral-4^3 3 , dz = 3 cdot (3 - (-4)) = 3 cdot 7 = 21 :

Passo 7

Agora, integramos o resultado em relação a integral3^6 21 , dr = 21 cdot (6 - 3) = 21 cdot 3 = 63 :

Passo 8

Por fim, integramos em relação a integral0^2pi 63 , dtheta = 63 cdot (2pi - 0) = 63 cdot 2pi = 126pi :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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