[3.0 pontos] Encontre a solução da relação de recorrência an=2 an-1-3, com condição inicial a0=-1, usando o método iterativo.
Dica: sumj=0^n a r^j=a+a r+a r^2+ldots+a r^n=a r^n+1-ar-1.
Iterando sobre a relação de recorrência, obtemos:
an & =2 an-1-3 & =2(2 an-2-3)-3=2^2 an-2-6-3 & =2(2(2 an-3-3)-3)-3=2^3 an-3-12-6-3 & =2(2(2(2 an-4-3)-3)-3)-3=2^4 an-4-24-12-6-3 & cdots an & =2^n a0-sumi=0^n-1 3 cdot 2^i
Substituindo a0 por -1 e aplicando a fórmula do exercício 1 para resolver o somatório sumi=0^n-1 3 cdot 2^i, obtemos a seguinte solução para a relação de recorrência: -2^n-3(2^n-1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma relação de recorrência dada por com a condição inicial . O conteúdo envolvido aqui é recorrência e método iterativo. Para resolver, vamos precisar iterar a relação de recorrência passo a passo até encontrarmos uma expressão geral para .

Passo 2

Vamos começar iterando a relação de recorrência:
an = 2 an-1 - 3
Substituímos an = 2(2 an-2 - 3) - 3 = 2^2 an-2 - 6 - 3 pela sua expressão em termos de :

Passo 3

Continuando a iterar, substituímos an = 2(2(2 an-3 - 3) - 3) - 3 = 2^3 an-3 - 12 - 6 - 3 :

Passo 4

Perceba o padrão que está se formando. A cada iteração, o coeficiente de an = 2^n a0 - sumi=0^n-1 3 cdot 2^i é multiplicado por 2 e os termos constantes adicionados formam uma soma geométrica. Após iterações, teremos:

Passo 5

Agora, vamos substituir an = 2^n (-1) - sumi=0^n-1 3 cdot 2^i = -2^n - 3 sumi=0^n-1 2^i pelo valor dado, que é -1:

Passo 6

Precisamos resolver o somatório sumi=0^n-1 2^i = 2^n - 12 - 1 = 2^n - 1 . Isso é uma progressão geométrica onde a soma é dada por:

Passo 7

Substituindo o valor do somatório na expressão de an = -2^n - 3(2^n - 1) = -2^n - 3 cdot 2^n + 3 :

Passo 8

Simplificando os termos:
an = -2^n - 3 cdot 2^n + 3 = -4 cdot 2^n + 3

Resposta

A solução da relação de recorrência é .

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