[3.0 pontos] Encontre a solução da relação de recorrência
, com condição inicial
, usando o método iterativo.
Dica:
.
Iterando sobre a relação de recorrência, obtemos:
Substituindo
por -1 e aplicando a fórmula do exercício 1 para resolver o somatório
, obtemos a seguinte solução para a relação de recorrência:
.
Dica:
Iterando sobre a relação de recorrência, obtemos:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma relação de recorrência dada por
com a condição inicial
. O conteúdo envolvido aqui é recorrência e método iterativo. Para resolver, vamos precisar iterar a relação de recorrência passo a passo até encontrarmos uma expressão geral para
.
Passo 2
Vamos começar iterando a relação de recorrência:
Substituímos
pela sua expressão em termos de
:
Passo 3
Continuando a iterar, substituímos
:
Passo 4
Perceba o padrão que está se formando. A cada iteração, o coeficiente de
é multiplicado por 2 e os termos constantes adicionados formam uma soma geométrica. Após
iterações, teremos:
Passo 5
Agora, vamos substituir
pelo valor dado, que é -1:
Passo 6
Precisamos resolver o somatório
. Isso é uma progressão geométrica onde a soma é dada por:
Passo 7
Substituindo o valor do somatório na expressão de
:
Passo 8
Simplificando os termos:
Resposta
A solução da relação de recorrência é
.