Considere o sistema linear . Para quais valores de o sistema tem:
(a) Uma única solução.
(b) Infinitas soluções.
© Não possui solução.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três variáveis , e , e um parâmetro . As equações são:
Queremos descobrir para quais valores de o sistema tem:
a) Uma única solução.
b) Infinitas soluções.
c) Não possui solução.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de determinante da matriz dos coeficientes e o Teorema de Rouché-Capelli, que nos ajuda a determinar a existência e a quantidade de soluções de um sistema linear.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes e a matriz aumentada :
Para analisar as soluções, precisamos calcular o determinante da matriz , que chamaremos de .

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz :
Expandindo o determinante:
Calculando cada menor:
Substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 4

Agora que temos , vamos analisar quando o determinante é diferente de zero, igual a zero ou quando outras condições ocorrem.
a) Uma única solução:
O sistema tem uma única solução quando o determinante é diferente de zero. Então:
Isso acontece quando:
Ou seja:
b) Infinitas soluções:
O sistema tem infinitas soluções quando o determinante é igual a zero e o posto da matriz dos coeficientes é igual ao posto da matriz aumentada. Vamos primeiro igualar a zero:
Isso ocorre quando:
Precisamos verificar se, para esses valores de , o sistema é consistente e possui infinitas soluções.
c) Não possui solução:
O sistema não possui solução quando o determinante é igual a zero e o posto da matriz aumentada é maior que o posto da matriz dos coeficientes.
Vamos verificar cada caso.

Passo 5

Vamos analisar cada valor de que faz :
Para :
Substituindo na terceira equação:
Observamos que a terceira equação se torna igual à primeira. Portanto, temos duas equações distintas:
Isso significa que o sistema é dependente e consistente, ou seja, tem infinitas soluções.
Para :
Substituindo na terceira equação:
Agora, comparando com a primeira equação , vemos que são equações equivalentes somente se , o que não é verdade. Portanto, o sistema é inconsistente e não possui solução para .

Passo 6

Resumindo:
a) Uma única solução quando e .
b) Infinitas soluções quando .
c) Não possui solução quando .

Resposta

a) O sistema possui uma única solução para todos os valores de diferentes de e .
b) O sistema possui infinitas soluções quando .
c) O sistema não possui solução quando .

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12a
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(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Determine o valor de , de modo que i seja imaginário puro:
a) .