Considere o sistema linear lx+2 y-z=2 2 x-2 y+3 z=1 x+2 y-(m^2-3) z=m. Para quais valores de m o sistema tem:
(a) Uma única solução.
(b) Infinitas soluções.
© Não possui solução.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três variáveis x + 2y - z = 2 2x - 2y + 3z = 1 x + 2y - (m^2 - 3)z = m , e , e um parâmetro . As equações são:
Queremos descobrir para quais valores de o sistema tem:
a) Uma única solução.
b) Infinitas soluções.
c) Não possui solução.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de determinante da matriz dos coeficientes e o Teorema de Rouché-Capelli, que nos ajuda a determinar a existência e a quantidade de soluções de um sistema linear.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes A = 1 & 2 & -1 2 & -2 & 3 1 & 2 & -(m^2 - 3) e a matriz aumentada A' = 1 & 2 & -1 & | & 2 2 & -2 & 3 & | & 1 1 & 2 & -(m^2 - 3) & | & m :
Para analisar as soluções, precisamos calcular o determinante da matriz , que chamaremos de .

Passo 3

Vamos calcular o determinante De da matriz De:
-2 & 3 2 & -(m^2 - 3) = (-2)(-(m^2 - 3)) - (3)(2) = 2(m^2 - 3) - 6
Expandindo o determinante:
2 & 3 1 & -(m^2 - 3) = 2(- (m^2 - 3)) - 3(1) = -2(m^2 - 3) - 3
Calculando cada menor:
2 & -2 1 & 2 = 2(2) - (-2)(1) = 4 + 2 = 6
De
De
Substituindo de volta:
De
Simplificando:
De
De
De
De

Passo 4

Agora que temos 6(m - 2)(m + 2) neq 0 , vamos analisar quando o determinante é diferente de zero, igual a zero ou quando outras condições ocorrem.
a) Uma única solução:
O sistema tem uma única solução quando o determinante (m - 2) neq 0 e (m + 2) neq 0 é diferente de zero. Então:
m neq 2 e m neq -2
Isso acontece quando:
6(m - 2)(m + 2) = 0
Ou seja:
m = 2 ou m = -2
b) Infinitas soluções:
O sistema tem infinitas soluções quando o determinante é igual a zero e o posto da matriz dos coeficientes é igual ao posto da matriz aumentada. Vamos primeiro igualar a zero:
Isso ocorre quando:
Precisamos verificar se, para esses valores de , o sistema é consistente e possui infinitas soluções.
c) Não possui solução:
O sistema não possui solução quando o determinante é igual a zero e o posto da matriz aumentada é maior que o posto da matriz dos coeficientes.
Vamos verificar cada caso.

Passo 5

Vamos analisar cada valor de x + 2y - ((2)^2 - 3)z = 2 que faz x + 2y - (4 - 3)z = 2 :
Para x + 2y - z = 2 :
Substituindo x + 2y - z = 2 2x - 2y + 3z = 1 na terceira equação:
x + 2y - ((-2)^2 - 3)z = -2
x + 2y - (4 - 3)z = -2
x + 2y - z = -2
Observamos que a terceira equação se torna igual à primeira. Portanto, temos duas equações distintas:
Isso significa que o sistema é dependente e consistente, ou seja, tem infinitas soluções.
Para :
Substituindo na terceira equação:
Agora, comparando com a primeira equação , vemos que são equações equivalentes somente se , o que não é verdade. Portanto, o sistema é inconsistente e não possui solução para .

Passo 6

Resumindo:
a) Uma única solução quando e .
b) Infinitas soluções quando .
c) Não possui solução quando .

Resposta

a) O sistema possui uma única solução para todos os valores de diferentes de e .
b) O sistema possui infinitas soluções quando .
c) O sistema não possui solução quando .

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