Resolva os sistemas lineares A x=b abaixo usando eliminação de GaussJordan:
(a) 3 x1-x2+2 x3 & =-1 2 x1+x2 & =3 2 x1-4 x2-2 x3 & =-4
(b) x1-2 x2+x3 & =0 2 x2-8 x3 & =8 -4 x1+5 x2+9 x3 & =-9
© rx2-4 x3=8 2 x1-3 x2+2 x3=1 5 x1-8 x2+7 x3=1
(d) r2 x1+2 x2-x3=1 3 x1+x2-3 x3=1 -2 x1-x2+x3=0
(e) lx1+2 x2+x3=-1 3 x1+6 x2+3 x3+x4=3 2 x1+4 x2-3 x3-x4=2
(f) lx1+2 x2+x3=0 3 x1+6 x2+3 x3+x4=0 2 x1+4 x2+2 x3+x4=0
(g) l2 x1+x2=1 3 x1+2 x2+x3=-1 5 x1+3 x2+x3=1
(h) x1-x2+2 x3 & +x4-3 x5=1 -2 x1+x2 & -x4+x5=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema linear que você mandou usando a eliminação de Gauss-Jordan. O sistema é:
3 x1 - x2 + 2 x3 = -1 2 x1 + x2 = 3 2 x1 - 4 x2 - 2 x3 = -4
Para resolver isso, vamos transformar o sistema em uma matriz aumentada e aplicar operações para chegar em uma forma que facilite encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada:
3 & -1 & 2 & | & -1 2 & 1 & 0 & | & 3 2 & -4 & -2 & | & -4
Aqui, cada linha representa uma equação do sistema, e a barra vertical separa os coeficientes das variáveis do resultado.

Passo 3

Nosso objetivo é deixar a matriz na forma escalonada reduzida, onde temos 1s na diagonal principal e zeros abaixo e acima deles. Vamos começar pela primeira coluna.
Primeiro, vamos tornar o primeiro elemento da primeira coluna igual a 1. Para isso, dividimos a primeira linha por 3:
1 & -13 & 23 & | & -13 2 & 1 & 0 & | & 3 2 & -4 & -2 & | & -4

Passo 4

Agora, vamos zerar os elementos abaixo do 1 da primeira coluna. Para a segunda linha, fazemos Linha2 = Linha2 - 2 times Linha1 Rightarrow 2 - 2(1) = 0, 1 - 2(-13) = 53, 0 - 2(23) = -43, 3 - 2(-13) = 113 :
Linha3 = Linha3 - 2 times Linha1 Rightarrow 2 - 2(1) = 0, -4 - 2(-13) = -103, -2 - 2(23) = -83, -4 - 2(-13) = -103
Para a terceira linha, fazemos 1 & -13 & 23 & | & -13 0 & 53 & -43 & | & 113 0 & -103 & -83 & | & -103 :
A matriz fica assim:

Passo 5

Vamos agora lidar com a segunda coluna. Primeiro, tornamos o coeficiente de Linha2 = 35 times Linha2 Rightarrow 0, 1, -45, 115 na segunda linha igual a 1, dividindo a segunda linha por 1 & -13 & 23 & | & -13 0 & 1 & -45 & | & 115 0 & -103 & -83 & | & -103 :
Linha3 = Linha3 + 103 times Linha2 Rightarrow 0 + 0 = 0, -103 + 103(1) = 0, -83 + 103(-45) = -83 - 83 = -163, -103 + 103(115) = -103 + 11015 = -50 + 11015 = 6015 = 4
A matriz fica:
1 & -13 & 23 & | & -13 0 & 1 & -45 & | & 115 0 & 0 & -163 & | & 4
Agora, vamos zerar o elemento abaixo de 1 na segunda coluna. Para a terceira linha, fazemos :
A matriz agora é:

Passo 6

Vamos resolver para -163x3 = 4 Rightarrow x3 = 4-163 = -34 da terceira linha:
x2 - 45(-34) = 115 Rightarrow x2 + 35 = 115 Rightarrow x2 = 115 - 35 = 85 = 1,6
Agora, substituímos x1 - 13(1,6) + 23(-34) = -13 x1 - 1,63 - 612 = -13 x1 - 1,63 - 12 = -13 x1 = -13 + 1,63 + 12 x1 = -1 + 1,63 + 12 x1 = 0,63 + 12 x1 = 0,2 + 0,5 = 0,7 na segunda linha para encontrar :
Por fim, substituímos e na primeira linha para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = 0,7, x2 = 1,6, x3 = -34

Exercícios relacionados