(1,25 pontos) Determine o fluxo rotacional do campo de vetores
através da superficie
de
com normal exterior.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o fluxo do rotacional do campo vetorial
através de uma superfície específica
. Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo vetorial, como o rotacional (ou curl) e o teorema de Stokes. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional de
, denotado por
, nos dá uma medida de quão “giro” o campo tem em cada ponto. Vamos calcular isso:
Calculando cada componente:
Passo 3
Agora que sabemos que o rotacional de
é o vetor nulo
, o próximo passo é entender o que isso significa para o fluxo através da superfície
. O fluxo do rotacional de
através de
é dado por:
Onde
é o vetor normal à superfície
.
Passo 4
Como o rotacional de
é zero em todas as direções, o produto escalar
também será zero:
Isso simplifica a integral dupla para:
Resposta
O fluxo rotacional do campo vetorial
através da superfície
é 0.