(1,25 pontos) Determine o fluxo rotacional do campo de vetores F(x, y, z)=(y^3, x^3, e^z) através da superficie S=(x, y, z) de S=(x, y, z) in IR^3 / x^2+y^2+z^2 <= 2, x^2+y^2 <= 1, z >= 0 com normal exterior.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o fluxo do rotacional do campo vetorial através de uma superfície específica . Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo vetorial, como o rotacional (ou curl) e o teorema de Stokes. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional de nabla times F = ( partial e^zpartial y - partial x^3partial z, partial y^3partial z - partial e^zpartial x, partial x^3partial y - partial y^3partial x ) , denotado por nabla times F = ( 0 - 0, 0 - 0, 0 - 0 ) = (0, 0, 0) , nos dá uma medida de quão “giro” o campo tem em cada ponto. Vamos calcular isso:
Calculando cada componente:

Passo 3

Agora que sabemos que o rotacional de integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS é o vetor nulo , o próximo passo é entender o que isso significa para o fluxo através da superfície . O fluxo do rotacional de através de é dado por:
Onde é o vetor normal à superfície .

Passo 4

Como o rotacional de (nabla times F) cdot n = 0 é zero em todas as direções, o produto escalar integral duplaS 0 , dS = 0 também será zero:
Isso simplifica a integral dupla para:

Resposta

O fluxo rotacional do campo vetorial através da superfície é 0.

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