[2 pt] Calcule aa integrais definidas
(b) integral0^pi / 2 raizcos x-cos ^3 x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Esse exercício envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais definidas e manipulação de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão dentro da raiz e usar técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: cos x - cos^3 x = cos x (1 - cos^2 x) . Podemos fatorar :

Passo 3

Sabemos que cos x (1 - cos^2 x) = cos x cdot sin^2 x pela identidade trigonométrica fundamental. Então:

Passo 4

Agora, substituímos de volta na integral:
integral0^pi / 2 raizcos x cdot sin^2 x , dx
Dentro da raiz, temos um produto, então podemos tirar a raiz de cada fator separadamente:
raizcos x cdot raizsin^2 x = raizcos x cdot |sin x|
Como estamos integrando de integral0^pi / 2 raizcos x cdot sin x , dx a , é sempre positivo, então . Assim, a integral fica:

Passo 5

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja du = -sin x , dx Rightarrow -du = sin x , dx . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 6

Precisamos também ajustar os limites de integração para :
  • Quando ,
  • Quando ,

Passo 7

Substituindo na integral:
integralx=0^x=pi/2 raizcos x cdot sin x , dx = integralu=1^u=0 raizu cdot (-du)
O sinal negativo inverte os limites de integração:
integral0^1 raizu , du

Passo 8

Agora, integramos integral raizu , du = integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C :

Passo 9

Aplicamos os limites de integração de [ 23 u^3/2 ]0^1 = 23(1)^3/2 - 23(0)^3/2 = 23 - 0 = 23 a :

Resposta

O valor da integral definida é .

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