Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite quando
tende ao infinito da expressão
. A matéria que vamos usar inclui limites de funções exponenciais e alguns truques de álgebra para simplificar expressões. Vamos precisar lembrar que, quando lidamos com limites de potências onde tanto a base quanto o expoente estão mudando, usar o logaritmo pode ser uma boa ideia.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do parênteses. Observa que no numerador e no denominador temos
, que é o termo de maior grau. Então, podemos fatorar
de ambos:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento dessa fração quando
vai para o infinito. Quando
fica muito grande, os termos
e
tendem a zero. Então, a fração simplifica para:
Mas como o expoente está indo para o infinito, precisamos ter mais cuidado, pois estamos lidando com uma expressão do tipo
, que é indeterminada. Para resolver isso, vamos usar o logaritmo natural.
Passo 4
Vamos chamar o limite original de
:
Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 5
Agora, vamos expandir o logaritmo usando uma aproximação para
quando
é pequeno:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão para
:
Passo 7
Agora, recuperamos
exponenciando ambos os lados:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
[2 pt] Calcule aa integrais definidas
(b)
(b)
[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta.
© .
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(a) ao longo da curva