Calcule: lim x +infty(x^2+1x^2+x)^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite quando tende ao infinito da expressão . A matéria que vamos usar inclui limites de funções exponenciais e alguns truques de álgebra para simplificar expressões. Vamos precisar lembrar que, quando lidamos com limites de potências onde tanto a base quanto o expoente estão mudando, usar o logaritmo pode ser uma boa ideia.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do parênteses. Observa que no numerador e no denominador temos x^2 + 1x^2 + x = x^2(1 + 1x^2)x^2(1 + 1x) = 1 + 1x^21 + 1x , que é o termo de maior grau. Então, podemos fatorar de ambos:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento dessa fração quando 1 + 01 + 0 = 1 vai para o infinito. Quando fica muito grande, os termos e tendem a zero. Então, a fração simplifica para:
Mas como o expoente está indo para o infinito, precisamos ter mais cuidado, pois estamos lidando com uma expressão do tipo , que é indeterminada. Para resolver isso, vamos usar o logaritmo natural.

Passo 4

Vamos chamar o limite original de L = limx to +infty (x^2+1x^2+x)^x :
ln L = limx to +infty x cdot ln(1 + 1x^21 + 1x)
Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:

Passo 5

Agora, vamos expandir o logaritmo usando uma aproximação para ln(1 + 1x^21 + 1x) = ln(1 + 1x^2) - ln(1 + 1x) approx 1x^2 - 1x quando é pequeno:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão para ln L = limx to +infty x (1x^2 - 1x) = limx to +infty (1x - 1) = -1 :

Passo 7

Agora, recuperamos L = e^-1 = 1e exponenciando ambos os lados:

Resposta

O limite é igual a .

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