[2 pt] Calcule a integral definida:
(b)
(b)
Passo 1
Vamos calcular a integral definida
. Essa questão pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo frações parciais para resolver integrais racionais. Para resolver, vamos decompor a expressão em frações mais simples e integrar cada termo separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Observamos que
pode ser fatorado como
, assim:
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração em partes utilizando frações parciais. Assumimos que:
Onde
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Explicando, isso nos ajuda a resolver para
,
e
comparando os coeficientes dos termos semelhantes.
Passo 5
Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de
no lado esquerdo e direito da equação:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Resolvendo, encontramos:
Passo 7
Substituindo os valores encontrados de
,
e
na decomposição original:
Passo 8
Agora, escrevemos a integral como a soma das integrais dos termos decompostos:
Passo 9
Calculamos cada integral separadamente:
-
- Para
, fazemos a substituição , então . Assim:
Passo 10
Aplicando os limites de integração:
Sabemos que
, então simplificamos:
Passo 11
Através de propriedades dos logaritmos, combinamos os termos:
Simplificando ainda mais:
Resposta
O valor da integral definida é
.
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Derive as derivadas parciais indicadas:
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Nos itens abaixo, verifique que
.
Seja
. Encontre o coeficiente angular da reta tangente a essa superfície no ponto
que está no:
plano
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