[2 pt] Calcule a integral definida:
(b)

Passo 1

Vamos calcular a integral definida . Essa questão pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo frações parciais para resolver integrais racionais. Para resolver, vamos decompor a expressão em frações mais simples e integrar cada termo separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Observamos que pode ser fatorado como , assim:

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração em partes utilizando frações parciais. Assumimos que:
Onde , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Explicando, isso nos ajuda a resolver para , e comparando os coeficientes dos termos semelhantes.

Passo 5

Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de no lado esquerdo e direito da equação:
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:
Resolvendo, encontramos:

Passo 7

Substituindo os valores encontrados de , e na decomposição original:

Passo 8

Agora, escrevemos a integral como a soma das integrais dos termos decompostos:

Passo 9

Calculamos cada integral separadamente:
  1. Para , fazemos a substituição , então . Assim:

Passo 10

Aplicando os limites de integração:
Sabemos que , então simplificamos:

Passo 11

Através de propriedades dos logaritmos, combinamos os termos:
Simplificando ainda mais:

Resposta

O valor da integral definida é .

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