[2 pt] Calcule a integral definida:
(b) integral1^3 3x^3+3 x d x

Passo 1

Vamos calcular a integral definida integral1^3 3x^3+3 x , dx. Essa questão pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo frações parciais para resolver integrais racionais. Para resolver, vamos decompor a expressão em frações mais simples e integrar cada termo separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Observamos que x^3 + 3x pode ser fatorado como x(x^2 + 3), assim:
3x^3+3x = 3x(x^2 + 3)

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração em partes utilizando frações parciais. Assumimos que:
3x(x^2 + 3) = Ax + Bx + Cx^2 + 3
Onde A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum x(x^2 + 3) para eliminar as frações:
3 = A(x^2 + 3) + (Bx + C)x
Explicando, isso nos ajuda a resolver para A, B e C comparando os coeficientes dos termos semelhantes.

Passo 5

Expandindo os termos:
3 = A x^2 + 3A + B x^2 + C x
Agrupando os termos semelhantes:
3 = (A + B)x^2 + Cx + 3A

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de x no lado esquerdo e direito da equação:
  • Coeficiente de x^2: A + B = 0
  • Coeficiente de x: C = 0
  • Termo constante: 3A = 3
Resolvendo, encontramos:
A = 1, B = -1, C = 0

Passo 7

Substituindo os valores encontrados de A, B e C na decomposição original:
3x(x^2 + 3) = 1x - xx^2 + 3

Passo 8

Agora, escrevemos a integral como a soma das integrais dos termos decompostos:
integral1^3 3x^3+3 x , dx = integral1^3 1x , dx - integral1^3 xx^2 + 3 , dx

Passo 9

Calculamos cada integral separadamente:
  1. integral 1x , dx = ln|x| + C
  2. Para integral xx^2 + 3 , dx, fazemos a substituição u = x^2 + 3, então du = 2x , dx Rightarrow du2 = x , dx. Assim:
integral xx^2 + 3 , dx = 12 ln|x^2 + 3| + C

Passo 10

Aplicando os limites de integração:
[ ln x - 12 ln(x^2 + 3) ]1^3 = ( ln 3 - 12 ln 12 ) - ( ln 1 - 12 ln 4 )
Sabemos que ln 1 = 0, então simplificamos:
= ln 3 - 12 ln 12 + 12 ln 4

Passo 11

Através de propriedades dos logaritmos, combinamos os termos:
= ln 3 + 12 (ln 4 - ln 12) = ln 3 + 12 ln ( 412 ) = ln 3 + 12 ln ( 13 )
Simplificando ainda mais:
= ln 3 - 12 ln 3 = 12 ln 3

Resposta

O valor da integral definida é 12 ln 3 approx 0,549.

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