Derive as derivadas parciais indicadas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a derivada parcial de
em relação a
no ponto
. A função dada é:
Precisamos aplicar conceitos de derivadas parciais e conhecer um pouco sobre derivação de funções compostas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de
em relação a
, denotada por
, mede como
varia quando apenas
muda, mantendo
e
constantes.
Passo 3
Para derivar
em relação a
, vamos usar a regra da cadeia. Seja:
Então,
. A derivada de
em relação a
é:
Agora, precisamos multiplicar isso pela derivada de
em relação a
:
Passo 4
Então, juntando tudo, a derivada parcial de
em relação a
fica:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essa derivada no ponto
. Primeiro, calculamos
, que é 0, e
, que é
. Substituindo:
Passo 6
Simplificando os termos:
E
.
Resposta
Portanto, a derivada parcial de
em relação a
no ponto
é: