Derive as derivadas parciais indicadas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a derivada parcial de em relação a no ponto . A função dada é:
Precisamos aplicar conceitos de derivadas parciais e conhecer um pouco sobre derivação de funções compostas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de em relação a , denotada por , mede como varia quando apenas muda, mantendo e constantes.

Passo 3

Para derivar em relação a , vamos usar a regra da cadeia. Seja:
Então, . A derivada de em relação a é:
Agora, precisamos multiplicar isso pela derivada de em relação a :

Passo 4

Então, juntando tudo, a derivada parcial de em relação a fica:

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa derivada no ponto . Primeiro, calculamos , que é 0, e , que é . Substituindo:

Passo 6

Simplificando os termos:
E .

Resposta

Portanto, a derivada parcial de em relação a no ponto é:

Exercícios relacionados

Derive as derivadas parciais indicadas:
[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta.
(d) Se , então .
[2 pt] Calcule a integral definida:
(b)
Nos itens abaixo, verifique que .