Nos itens abaixo, verifique que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se as derivadas parciais de segunda ordem de em relação a e são iguais, ou seja, se . Isso está dentro do conteúdo de cálculo de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeiro com relação a e depois com relação a , e fazer o contrário também.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é simbolizada por . A função dada é:
Para derivar em relação a , tratamos como uma constante. Então:
  • A derivada de em relação a é (porque é constante).
  • A derivada de em relação a é (usando a derivada de , que é ).
  • A derivada de em relação a é (já que é constante).
Então, a derivada parcial fica:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar . A express��o que encontramos foi:
Derivando cada termo em relação a :
  • A derivada de é .
  • A derivada de é (já que é constante em relação a ).
  • A derivada de é .
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é . Usando a função original:
Derivando em relação a :
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é (já que é constante em relação a ).
  • A derivada de em relação a é .
Então, a derivada parcial fica:

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar . A expressão que encontramos foi:
Derivando cada termo em relação a :
  • A derivada de é (já que é constante em relação a ).
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Então, temos:

Resposta

Como e , concluímos que:

Exercícios relacionados

[2 pt] Calcule a integral definida:
(b)
Derive as derivadas parciais indicadas:
Seja . Encontre o coeficiente angular da reta tangente a essa superfície no ponto que está no:
plano
Nos itens abaixo, verifique que .