Nos itens abaixo, verifique que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se as derivadas parciais de segunda ordem de
em relação a
e
são iguais, ou seja, se
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
primeiro com relação a
e depois com relação a
, e fazer o contrário também.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é simbolizada por
. A função dada é:
Para derivar em relação a
, tratamos
como uma constante. Então:
- A derivada de
em relação a é (porque é constante). - A derivada de
em relação a é (usando a derivada de , que é ). - A derivada de
em relação a é (já que é constante).
Então, a derivada parcial
fica:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
. A express��o que encontramos foi:
Derivando cada termo em relação a
:
- A derivada de
é . - A derivada de
é (já que é constante em relação a ). - A derivada de
é .
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Usando a função original:
Derivando em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (já que é constante em relação a ). - A derivada de
em relação a é .
Então, a derivada parcial
fica:
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
. A expressão que encontramos foi:
Derivando cada termo em relação a
:
- A derivada de
é (já que é constante em relação a ). - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então, temos:
Resposta
Como
e
, concluímos que:
Exercícios relacionados
[2 pt] Calcule a integral definida:
(b)
(b)
Derive as derivadas parciais indicadas:
Seja
. Encontre o coeficiente angular da reta tangente a essa superfície no ponto
que está no:
plano
plano
Nos itens abaixo, verifique que
.