Derive as derivadas parciais indicadas:
f(x, y) = ln(x + raiz(x^2 + y^2)) ; f_y(3, 4)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada parcial de em relação a no ponto . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente em derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar lembrar das regras de derivação, especialmente a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que queremos derivar em relação a :
Queremos encontrar , ou seja, a derivada parcial de em relação a no ponto onde e .

Passo 3

Para derivar em relação a , vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz como derivar funções compostas. Aqui, temos uma função logarítmica composta com .
Primeiro, derivamos a função externa em relação a , que é , e depois multiplicamos pela derivada da função interna em relação a .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas passo a passo:
  1. Derivada da função externa:
  1. Derivada da função interna em relação a :
Agora, aplicamos a regra da cadeia:

Passo 5

Agora, vamos avaliar no ponto :
Primeiro, calculamos .
Substituindo na expressão da derivada:

Resposta

A derivada parcial de em relação a no ponto é .

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