[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta. © dd x integral0^e^x t^2 d t=e^2 x.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos que determinar se a seguinte igualdade é verdadeira ou falsa:
ddx integral0^e^x t^2 dt = e^2x
Estamos lidando com cálculo diferencial e integral, especificamente com a regra de diferenciação de integrais que dependem de uma variável. Para resolver, vamos precisar conhecer a regra de Leibniz para derivadas de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra de Leibniz. Se temos uma integral da forma:
integrala(x)^b(x) f(t) dt
A derivada em relação a ddx integrala(x)^b(x) f(t) dt = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) é dada por:
No nosso caso, e . A função .

Passo 3

Aplicando a regra de Leibniz:
ddx integral0^e^x t^2 dt = t^2 g|t = e^x cdot ddx e^x - t^2 g|t = 0 cdot ddx 0
Simplificando:
= (e^x)^2 cdot e^x - 0 cdot 0
= e^2x cdot e^x
= e^3x

Passo 4

Comparando com a igualdade dada no enunciado:
ddx integral0^e^x t^2 dt = e^3x neq e^2x
Portanto, a igualdade apresentada não é verdadeira.

Resposta

F

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