Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O enunciado nos apresenta a equação:
com as condições:
Vamos precisar usar métodos para resolver equações diferenciais lineares, especificamente a Equação de Euler-Cauchy, que é adequada para equações na forma .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, sem o lado direito:
A Equação de Euler-Cauchy tem soluções da forma . Vamos assumir essa forma e substituir na equação para encontrar os valores de .

Passo 3

Derivando :
Substituindo , e na equação homogênea:
Simplificando:
Fatorando :
Como , temos a equação característica:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática :
Então, as raízes são:

Passo 5

Com as raízes reais e distintas e , a solução geral da parte homogênea é:
onde e são constantes que vamos determinar com as condições iniciais.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é , que é uma potência de não presente na solução homogênea, podemos tentar uma solução particular da forma , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 7

Vamos calcular as derivadas de :
Substituindo , e na equação original:
Simplificando:

Passo 8

Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular é:

Passo 9

A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 10

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes e .
Primeira condição:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por 64 para eliminar as frações:
çã

Passo 11

Segunda condição:
Primeiro, encontramos :
Aplicando :
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por 16:
çã

Passo 12

Agora, temos o sistema de equações:
çãçã
Vamos subtrair a Equação 1 da Equação 2 para eliminar :

Passo 13

Substituindo na Equação 1:

Resposta

A solução da equação diferencial dada, que satisfaz as condições iniciais, é:

Exercícios relacionados

[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta. © .
Seja . Encontre o coeficiente angular da reta tangente a essa superfície no ponto que está no:
plano
[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta. (e) , então .