lx^2 y^prime prime-5 x y^prime+8 y=8 x^6 y(12)=0, y^prime(12)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O enunciado nos apresenta a equação:
x^2 y'' - 5x y' + 8 y = 8 x^6
com as condições:
y(12) = 0, y'(12) = 0
Vamos precisar usar métodos para resolver equações diferenciais lineares, especificamente a Equação de Euler-Cauchy, que é adequada para equações na forma .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, sem o lado direito:
x^2 y'' - 5x y' + 8 y = 0
A Equação de Euler-Cauchy tem soluções da forma . Vamos assumir essa forma e substituir na equação para encontrar os valores de .

Passo 3

Derivando y' = r x^r-1 :
y'' = r (r-1) x^r-2
x^2 cdot r (r-1) x^r-2 - 5x cdot r x^r-1 + 8 x^r = 0
Substituindo r (r-1) x^r - 5 r x^r + 8 x^r = 0 , x^r [r (r-1) - 5r + 8] = 0 e r^2 - r - 5r + 8 = 0 Rightarrow r^2 - 6r + 8 = 0 na equação homogênea:
Simplificando:
Fatorando :
Como , temos a equação característica:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática r = 6 pm raiz36 - 322 = 6 pm raiz42 = 6 pm 22 :
r1 = 6 + 22 = 4, r2 = 6 - 22 = 2
Então, as raízes são:

Passo 5

Com as raízes reais e distintas yh(x) = C1 x^4 + C2 x^2 e , a solução geral da parte homogênea é:
onde e são constantes que vamos determinar com as condições iniciais.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular x^2 y'' - 5x y' + 8 y = 8 x^6 para a equação completa:
Como o lado direito é , que é uma potência de não presente na solução homogênea, podemos tentar uma solução particular da forma , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 7

Vamos calcular as derivadas de yp' = 6 A x^5 :
yp'' = 30 A x^4
x^2 cdot 30 A x^4 - 5x cdot 6 A x^5 + 8 cdot A x^6 = 8 x^6
Substituindo 30 A x^6 - 30 A x^6 + 8 A x^6 = 8 x^6 , 8 A x^6 = 8 x^6 e na equação original:
Simplificando:

Passo 8

Comparando os coeficientes:
8 A = 8 Rightarrow A = 1
Então, a solução particular é:
yp(x) = x^6

Passo 9

A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 x^4 + C2 x^2 + x^6

Passo 10

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes 0 = C1 (12)^4 + C2 (12)^2 + (12)^6 e 0 = C1 cdot 116 + C2 cdot 14 + 164 .
Primeira condição: 0 = 4 C1 + 16 C2 + 1 Rightarrow 4 C1 + 16 C2 = -1 (Equação 1)
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por 64 para eliminar as frações:
çã

Passo 11

Segunda condição: y'(x) = 4 C1 x^3 + 2 C2 x + 6 x^5
Primeiro, encontramos 0 = 4 C1 (12)^3 + 2 C2 (12) + 6 (12)^5 :
0 = 4 C1 cdot 18 + 2 C2 cdot 12 + 6 cdot 132
Aplicando 0 = 12 C1 + C2 + 632 = 12 C1 + C2 + 316 :
0 = 8 C1 + 16 C2 + 3 Rightarrow 8 C1 + 16 C2 = -3 (Equação 2)
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por 16:
çã

Passo 12

Agora, temos o sistema de equações:
4 C1 + 16 C2 = -1 (Equação 1) 8 C1 + 16 C2 = -3 (Equação 2) çãçã
Vamos subtrair a Equação 1 da Equação 2 para eliminar (8 C1 + 16 C2) - (4 C1 + 16 C2) = -3 - (-1) :
4 C1 = -2 Rightarrow C1 = -12

Passo 13

Substituindo 4 (-12) + 16 C2 = -1 na Equação 1:
-2 + 16 C2 = -1 Rightarrow 16 C2 = 1 Rightarrow C2 = 116

Resposta

A solução da equação diferencial dada, que satisfaz as condições iniciais, é:
y(x) = -12 x^4 + 116 x^2 + x^6

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