Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O enunciado nos apresenta a equação:
com as condições:
Vamos precisar usar métodos para resolver equações diferenciais lineares, especificamente a Equação de Euler-Cauchy, que é adequada para equações na forma
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, sem o lado direito:
A Equação de Euler-Cauchy tem soluções da forma
. Vamos assumir essa forma e substituir na equação para encontrar os valores de
.
Passo 3
Derivando
:
Substituindo
,
e
na equação homogênea:
Simplificando:
Fatorando
:
Como
, temos a equação característica:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
:
Então, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes reais e distintas
e
, a solução geral da parte homogênea é:
onde
e
são constantes que vamos determinar com as condições iniciais.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado direito é
, que é uma potência de
não presente na solução homogênea, podemos tentar uma solução particular da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 7
Vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 8
Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 9
A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 10
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes
e
.
Primeira condição:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por 64 para eliminar as frações:
Passo 11
Segunda condição:
Primeiro, encontramos
:
Aplicando
:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por 16:
Passo 12
Agora, temos o sistema de equações:
Vamos subtrair a Equação 1 da Equação 2 para eliminar
:
Passo 13
Substituindo
na Equação 1:
Resposta
A solução da equação diferencial dada, que satisfaz as condições iniciais, é:
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.
Seja
. Encontre o coeficiente angular da reta tangente a essa superfície no ponto
que está no:
plano
plano
[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta. (e)
, então
.