Nos itens abaixo, verifique que z_xy = z_yx.
z = x * y^2 + x^2 * y^3 + x^3 * y^4

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo! A gente precisa verificar que as derivadas parciais mistas de , ou seja, e , são iguais. Isso entra no esquema de cálculo diferencial, especificamente nas derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e de duas formas diferentes e comparar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular , que é a derivada de em relação a . A função dada é:
Derivando cada termo em relação a :

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :

Passo 4

Vamos fazer o mesmo processo, mas na ordem inversa. Primeiro, calcular :
Agora, derivando em relação a para encontrar :

Resposta

Como e , concluímos que .

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