Seja
o conjunto dos polinômios reais de grau menor ou igual que
. Para cada um dos itens seguintes seja
o conjunto dos polinômios em
satisfazendo a condição dada. Determine se
é um subespaço de
. Se
for um subspaço calcule a dimensão de
.
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando com polinômios, especificamente com o conjunto
, que inclui todos os polinômios de grau menor ou igual a
. A questão aqui é verificar se um certo conjunto
de polinômios que satisfazem a condição
é um subespaço de
. Se for, também vamos descobrir qual é a dimensão desse subespaço. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um subespaço e como calcular a dimensão dele.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço. Em álgebra linear, um subespaço é um conjunto de vetores (neste caso, polinômios) que satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero: O polinômio zero está em
. - Fechado sob adição: Se você pegar dois polinômios qualquer em
e somar, o resultado também está em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar um polinômio de
por qualquer número real, o resultado também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
definido pela condição
.
Passo 3
1. O vetor zero está em
?
O polinômio zero é aquele onde todos os coeficientes são zero. Vamos verificar a condição:
Então,
Como a condição é satisfeita, o vetor zero está em
.
Passo 4
2.
é fechado sob adição?
Vamos pegar dois polinômios quaisquer em
, digamos
e
, que satisfazem:
Agora, somando esses dois polinômios:
.
Calculando a condição para
:
Portanto,
também satisfaz a condição, então
é fechado sob adição.
Passo 5
3.
é fechado sob multiplicação por escalar?
Vamos pegar um polinômio
em
e um número real
. Queremos ver se
também está em
.
Calculando a condição para
:
Então,
também satisfaz a condição, e portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Como
satisfaz todas as três condições (contém o vetor zero, fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar), podemos concluir que
é, de fato, um subespaço de
.
Passo 7
Agora, vamos calcular a dimensão de
. A dimensão de um subespaço é o número de vetores (neste caso, polinômios) que formam uma base para ele.
A condição
impõe uma restrição linear sobre os coeficientes do polinômio. Por exemplo, se considerarmos um polinômio genérico de grau
, teremos:
Então,
A condição fica:
.
Isso significa que, de todos os coeficientes,
está determinado por
, reduzindo nosso grau de liberdade em 1.
Então, a dimensão de
é igual à dimensão de
menos 1. Sabemos que
tem dimensão
, então:
Resposta
Sim,
é um subespaço de
e a dimensão de
é igual a
.