Seja Pn o conjunto dos polinômios reais de grau menor ou igual que n. Para cada um dos itens seguintes seja S o conjunto dos polinômios em Pk satisfazendo a condição dada. Determine se S é um subespaço de Pn. Se S for um subspaço calcule a dimensão de S.
(d) p^prime(0)+p(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando com polinômios, especificamente com o conjunto Pn, que inclui todos os polinômios de grau menor ou igual a n. A questão aqui é verificar se um certo conjunto S de polinômios que satisfazem a condição p^prime(0) + p(0) = 0 é um subespaço de Pn. Se for, também vamos descobrir qual é a dimensão desse subespaço. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um subespaço e como calcular a dimensão dele.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço. Em álgebra linear, um subespaço é um conjunto de vetores (neste caso, polinômios) que satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: O polinômio zero está em S.
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois polinômios qualquer em S e somar, o resultado também está em S.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar um polinômio de S por qualquer número real, o resultado também está em S.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto S definido pela condição p^prime(0) + p(0) = 0.

Passo 3

1. O vetor zero está em S?
O polinômio zero é aquele onde todos os coeficientes são zero. Vamos verificar a condição:
p(x) = 0
p^prime(x) = 0
Então, p^prime(0) + p(0) = 0 + 0 = 0.
Como a condição é satisfeita, o vetor zero está em S.

Passo 4

2. S é fechado sob adição?
Vamos pegar dois polinômios quaisquer em S, digamos p(x) e q(x), que satisfazem:
p^prime(0) + p(0) = 0
q^prime(0) + q(0) = 0
Agora, somando esses dois polinômios: r(x) = p(x) + q(x).
Calculando a condição para r(x):
r^prime(0) + r(0) = [p^prime(0) + q^prime(0)] + [p(0) + q(0)] = [ -p(0) + -q(0) ] + [p(0) + q(0)] = 0
Portanto, r(x) também satisfaz a condição, então S é fechado sob adição.

Passo 5

3. S é fechado sob multiplicação por escalar?
Vamos pegar um polinômio p(x) em S e um número real c. Queremos ver se c cdot p(x) também está em S.
Calculando a condição para c cdot p(x):
[c cdot p(x)]^prime(0) + [c cdot p(x)](0) = c cdot p^prime(0) + c cdot p(0) = c cdot [p^prime(0) + p(0)] = c cdot 0 = 0
Então, c cdot p(x) também satisfaz a condição, e portanto, S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Como S satisfaz todas as três condições (contém o vetor zero, fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar), podemos concluir que S é, de fato, um subespaço de Pn.

Passo 7

Agora, vamos calcular a dimensão de S. A dimensão de um subespaço é o número de vetores (neste caso, polinômios) que formam uma base para ele.
A condição p^prime(0) + p(0) = 0 impõe uma restrição linear sobre os coeficientes do polinômio. Por exemplo, se considerarmos um polinômio genérico de grau k, teremos:
p(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + dots + ak x^k
p^prime(x) = a1 + 2a2 x + dots + k ak x^k-1
Então, p^prime(0) = a1 e p(0) = a0.
A condição fica: a1 + a0 = 0 Rightarrow a1 = -a0.
Isso significa que, de todos os coeficientes, a1 está determinado por a0, reduzindo nosso grau de liberdade em 1.
Então, a dimensão de S é igual à dimensão de Pk menos 1. Sabemos que Pk tem dimensão k + 1, então:
dim(S) = (k + 1) - 1 = k

Resposta

Sim, S é um subespaço de Pn e a dimensão de S é igual a k.

Exercícios relacionados