[2 pts] Determine tal que o vetor seja combinação linear dos vetores e
Passo 1
Vamos resumir o problema: precisamos encontrar um número real tal que o vetor seja uma combinação linear dos vetores , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente a ideia de combinação linear e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Dizemos que é uma combinação linear de , e se existirem escalares , e tais que:
Isso dá origem a um sistema de equações baseado nas componentes dos vetores.
Passo 3
Vamos escrever as equações component-wise:
Essas três equações nos ajudarão a encontrar os valores de , , e .
Passo 4
Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação:
-m = b - c Rightarrow b = -m + c
Agora, substituímos na primeira e terceira equações.
Passo 5
Substituindo 1 = a + (-m + c) + 2c 1 = a - m + 3c Rightarrow a = 1 + m - 3c na primeira equação:
Passo 6
Agora, substituímos 3 = 2(1 + m - 3c) + (-m + c) + 5c 3 = 2 + 2m - 6c - m + c + 5c 3 = 2 + m Rightarrow m = 1 e na terceira equação: