[ 2 pts ] Considere a matriz
A=[ccc -4 & 0 & -10 -2 & -4 & -4 2 & -2 & 6 ]
Determine, se existir, a matriz A^-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma matriz e quer saber se ela tem inversa, ou seja, se existe uma matriz que, quando multiplicada por , dá a matriz identidade. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre determinantes e a regra de Cramer para encontrar a inversa de matrizes 3x3.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A = -4 & 0 & -10 -2 & -4 & -4 2 & -2 & 6 . O determinante nos diz se a matriz é invertível. Se o determinante for diferente de zero, a inversa existe. A matriz dada é:

Passo 3

Para encontrar o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão por cofatores:
det(A) = a11 cdot det(M11) - a12 cdot det(M12) + a13 cdot det(M13)
onde é a matriz menor removendo a i-ésima linha e j-ésima coluna.

Passo 4

Calculando cada menor:
  • M11 = -4 & -4 -2 & 6 : removendo a primeira linha e primeira coluna:
det(M11) = (-4)(6) - (-4)(-2) = -24 - 8 = -32
M12 = -2 & -4 2 & 6
  • det(M12) = (-2)(6) - (-4)(2) = -12 + 8 = -4 : removendo a primeira linha e segunda coluna:
M13 = -2 & -4 2 & -2
det(M13) = (-2)(-2) - (-4)(2) = 4 + 8 = 12
  • : removendo a primeira linha e terceira coluna:

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do determinante:
det(A) = (-4)(-32) - 0(-4) + (-10)(12) = 128 + 0 - 120 = 8
Como o determinante é 8, que é diferente de zero, a matriz tem inversa.

Passo 6

Para encontrar A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) , usamos a fórmula:
A adjugada é a transposta da matriz de cofatores. Vamos calcular os cofatores de cada elemento de .

Passo 7

Calculando os cofatores:
C11 = det(M11) = -32
C12 = -det(M12) = 4
C13 = det(M13) = 12
C21 = -det(0 & -10 -2 & 6) = - (0 cdot 6 - (-10) cdot (-2)) = - (0 - 20) = 20
C22 = det(-4 & -10 2 & 6) = (-4)(6) - (-10)(2) = -24 + 20 = -4
C23 = -det(-4 & 0 2 & -2) = - [(-4)(-2) - 0 cdot 2] = - (8 - 0) = -8
C31 = det(0 & -10 -4 & -4) = (0)(-4) - (-10)(-4) = 0 - 40 = -40
C32 = -det(-4 & -10 -2 & -4) = - [(-4)(-4) - (-10)(-2)] = - (16 - 20) = 4
C33 = det(-4 & 0 -2 & -4) = (-4)(-4) - 0 cdot (-2) = 16 - 0 = 16

Passo 8

Montamos a matriz de cofatores:
Cof(A) = -32 & 4 & 12 20 & -4 & -8 -40 & 4 & 16
Agora, tiramos a transposta dessa matriz para obter a adjugada:
adj(A) = -32 & 20 & -40 4 & -4 & 4 12 & -8 & 16

Passo 9

Finalmente, aplicamos a fórmula da inversa:
A^-1 = 18 cdot -32 & 20 & -40 4 & -4 & 4 12 & -8 & 16 = -4 & 2.5 & -5 0.5 & -0.5 & 0.5 1.5 & -1 & 2

Resposta

A matriz inversa A^-1 = -4 & 2.5 & -5 0.5 & -0.5 & 0.5 1.5 & -1 & 2 existe e é:

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