[ 2 pts] Para que valores de o sistema admite solução?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O enunciado pede para encontrar os valores de que fazem o sistema ter solução. O que isso significa? Que a gente precisa descobrir para quais valores de as três equações se “enxergam”, ou seja, têm pelo menos uma solução em comum. Vamos precisar usar álgebra linear, especificamente o método das matrizes e determinantes, para analisar a consistência do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilita os cálculos. A matriz aumentada fica assim:
Agora, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes (a parte sem a coluna dos resultados) para verificar se o sistema tem solução única. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, pode ter infinitas soluções ou nenhuma, dependendo dos resultados. A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & 1 & m 3 & 4 & 2 2 & 3 & 1
O determinante de det(A) = 1 times (4 times 1 - 2 times 3) - 1 times (3 times 1 - 2 times 2) + m times (3 times 3 - 4 times 2) é calculado assim:
Vamos calcular passo a passo.
Passo 4
Calculando cada parte do determinante:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Passo 5
Somando tudo:
det(A) = -2 + 1 + m = m - 1
Passo 6
Agora, sabemos que:
Se , ou seja, , então o sistema tem uma única solução.
Se , ou seja, , então precisamos verificar se o sistema é consistente para esse valor de .
Vamos analisar cada caso.
Passo 7
Primeiro, se , ou seja, , então e o sistema tem uma única solução. Isso significa que para todo valor de diferente de 1, o sistema admite solução.
Agora, vamos ver o caso quando .
Passo 8
Quando x + y + z = 2 3x + 4y + 2z = 1 2x + 3y + z = 1 , o determinante é zero (). Nesse caso, precisamos verificar se as equações são consistentes. Vamos substituir no sistema original:
Agora, vamos resolver esse sistema para ver se tem solução.
Passo 9
Subtraindo a primeira equação da terceira, temos:
(2x + 3y + z) - (x + y + z) = 1 - 2 x + 2y = -1 (Equação A) çã
Subtraindo três vezes a primeira equação da segunda:
(3x + 4y + 2z) - 3(x + y + z) = 1 - 6 3x + 4y + 2z - 3x - 3y - 3z = -5 y - z = -5 (Equação B) çã
Agora, temos um sistema com Equação A e Equação B:
x + 2y = -1 y - z = -5
Passo 10
Podemos expressar x = -1 - 2y z = y + 5 e em função de :
Como temos infinitas soluções parametrizadas por , o sistema é consistente e admite soluções para .