[ 2 pts] Para que valores de m o sistema lllx+y & +m z=2 3 x+4 y & +2 z & =m 2 x+3 y & +z & =1 admite solução?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O enunciado pede para encontrar os valores de que fazem o sistema ter solução. O que isso significa? Que a gente precisa descobrir para quais valores de as três equações se “enxergam”, ou seja, têm pelo menos uma solução em comum. Vamos precisar usar álgebra linear, especificamente o método das matrizes e determinantes, para analisar a consistência do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilita os cálculos. A matriz aumentada fica assim:
1 & 1 & m & | & 2 3 & 4 & 2 & | & m 2 & 3 & 1 & | & 1

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes (a parte sem a coluna dos resultados) para verificar se o sistema tem solução única. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, pode ter infinitas soluções ou nenhuma, dependendo dos resultados. A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & 1 & m 3 & 4 & 2 2 & 3 & 1
O determinante de det(A) = 1 times (4 times 1 - 2 times 3) - 1 times (3 times 1 - 2 times 2) + m times (3 times 3 - 4 times 2) é calculado assim:
Vamos calcular passo a passo.

Passo 4

Calculando cada parte do determinante:
  1. Primeiro termo:
  2. Segundo termo:
  3. Terceiro termo:

Passo 5

Somando tudo:
det(A) = -2 + 1 + m = m - 1

Passo 6

Agora, sabemos que:
  • Se , ou seja, , então o sistema tem uma única solução.
  • Se , ou seja, , então precisamos verificar se o sistema é consistente para esse valor de .
Vamos analisar cada caso.

Passo 7

Primeiro, se , ou seja, , então e o sistema tem uma única solução. Isso significa que para todo valor de diferente de 1, o sistema admite solução.
Agora, vamos ver o caso quando .

Passo 8

Quando x + y + z = 2 3x + 4y + 2z = 1 2x + 3y + z = 1 , o determinante é zero ( ). Nesse caso, precisamos verificar se as equações são consistentes. Vamos substituir no sistema original:
Agora, vamos resolver esse sistema para ver se tem solução.

Passo 9

Subtraindo a primeira equação da terceira, temos:
(2x + 3y + z) - (x + y + z) = 1 - 2 x + 2y = -1 (Equação A) çã
Subtraindo três vezes a primeira equação da segunda:
(3x + 4y + 2z) - 3(x + y + z) = 1 - 6 3x + 4y + 2z - 3x - 3y - 3z = -5 y - z = -5 (Equação B) çã
Agora, temos um sistema com Equação A e Equação B:
x + 2y = -1 y - z = -5

Passo 10

Podemos expressar x = -1 - 2y z = y + 5 e em função de :
Como temos infinitas soluções parametrizadas por , o sistema é consistente e admite soluções para .

Resposta

O sistema admite solução para todo valor de real.

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