Considere o sistema de equações lineares dado abaixo:
c 2 x-y+3 z=11 4 x-3 y+2 z=0 x+y+z=6 3 x+y+z=4
(b) Encontre a matriz linha reduzida à forma escada que é linha equivalente a matriz ampliada do sistema.

Passo 1

Resumo da questão: Temos um sistema de quatro equações lineares com três incógnitas , e . Vamos utilizar álgebra linear, especificamente a redução de matrizes, para encontrar a matriz linha reduzida à forma escada que é equivalente à matriz ampliada do sistema. Para isso, precisaremos aplicar operações elementares nas linhas da matriz.

Passo 2

Matriz Ampliada Inicial: Primeiro, vamos escrever a matriz ampliada do sistema de equações. Cada linha representa uma equação, e a última coluna representa os termos constantes.
2 & -1 & 3 & | & 11 4 & -3 & 2 & | & 0 1 & 1 & 1 & | & 6 3 & 1 & 1 & | & 4

Passo 3

Objetivo do Primeiro Pivô: Queremos que o primeiro elemento da primeira linha (chamado de pivô) seja igual a 1 para facilitar as operações seguintes. Para isso, vamos dividir a primeira linha por 2.
R1 R12 Rightarrow 1 & -0.5 & 1.5 & | & 5.5
Matriz após a operação:
1 & -0.5 & 1.5 & | & 5.5 4 & -3 & 2 & | & 0 1 & 1 & 1 & | & 6 3 & 1 & 1 & | & 4

Passo 4

Eliminando o R2 &: 4 - 4(1) = 0, -3 - 4(-0.5) = -3 + 2 = -1, 2 - 4(1.5) = 2 - 6 = -4, 0 - 4(5.5) = 0 - 22 = -22 R3 &: 1 - 1 = 0, 1 - (-0.5) = 1 + 0.5 = 1.5, 1 - 1.5 = -0.5, 6 - 5.5 = 0.5 R4 &: 3 - 3(1) = 0, 1 - 3(-0.5) = 1 + 1.5 = 2.5, 1 - 3(1.5) = 1 - 4.5 = -3.5, 4 - 3(5.5) = 4 - 16.5 = -12.5 das Outras Linhas: Agora, vamos eliminar o termo 1 & -0.5 & 1.5 & | & 5.5 0 & -1 & -4 & | & -22 0 & 1.5 & -0.5 & | & 0.5 0 & 2.5 & -3.5 & | & -12.5 das linhas 2, 3 e 4 usando a primeira linha. Fazemos isso subtraindo múltiplos da primeira linha das outras linhas.
  • Linha 2:
  • Linha 3:
  • Linha 4:
Calculando:
Matriz após as operações:

Passo 5

Normalizando o Segundo Pivô: Agora, focamos na segunda coluna. Queremos que o segundo elemento da segunda linha seja 1. Atualmente, está como -1. Vamos multiplicar a segunda linha por -1.
R2 -1 times R2 Rightarrow 0 & 1 & 4 & | & 22
Matriz atualizada:
1 & -0.5 & 1.5 & | & 5.5 0 & 1 & 4 & | & 22 0 & 1.5 & -0.5 & | & 0.5 0 & 2.5 & -3.5 & | & -12.5

Passo 6

Eliminando o R3 &: 0 - 1.5(0) = 0, 1.5 - 1.5(1) = 0, -0.5 - 1.5(4) = -0.5 - 6 = -6.5, 0.5 - 1.5(22) = 0.5 - 33 = -32.5 R4 &: 0 - 2.5(0) = 0, 2.5 - 2.5(1) = 0, -3.5 - 2.5(4) = -3.5 - 10 = -13.5, -12.5 - 2.5(22) = -12.5 - 55 = -67.5 das Outras Linhas: Usando a segunda linha, vamos eliminar o 1 & -0.5 & 1.5 & | & 5.5 0 & 1 & 4 & | & 22 0 & 0 & -6.5 & | & -32.5 0 & 0 & -13.5 & | & -67.5 das linhas 3 e 4.
  • Linha 3:
  • Linha 4:
Calculando:
Matriz após as operações:

Passo 7

Normalizando o Terceiro Pivô: Agora, focamos na terceira coluna. Queremos que o terceiro elemento da terceira linha seja 1. Atualmente, está como -6.5. Vamos dividir a terceira linha por -6.5.
R3 R3-6.5 Rightarrow 0 & 0 & 1 & | & 5
Matriz atualizada:
1 & -0.5 & 1.5 & | & 5.5 0 & 1 & 4 & | & 22 0 & 0 & 1 & | & 5 0 & 0 & -13.5 & | & -67.5

Passo 8

Eliminando o R4 = -13.5 + 13.5(1) = 0, -67.5 + 13.5(5) = -67.5 + 67.5 = 0 da Quarta Linha: Usando a terceira linha, vamos eliminar o 1 & -0.5 & 1.5 & | & 5.5 0 & 1 & 4 & | & 22 0 & 0 & 1 & | & 5 0 & 0 & 0 & | & 0 da quarta linha.
  • Linha 4:
Calculando:
Matriz Final em Forma Escada:

Resposta

A matriz linha reduzida à forma escada equivalente à matriz ampliada do sistema é:
1 & -0.5 & 1.5 & | & 5.5 0 & 1 & 4 & | & 22 0 & 0 & 1 & | & 5 0 & 0 & 0 & | & 0

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