Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo: f(x) = 2^(x^x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada de primeira ordem da função . Isso está ligado ao estudo de derivadas em Cálculo Diferencial, especialmente quando lidamos com funções exponenciais que têm expoentes complicados. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Sabemos que qualquer função exponencial pode ser reescrita usando o logaritmo natural. Então, temos:
Isso nos ajuda a lidar melhor com a derivada.

Passo 3

Agora, vamos derivar usando a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , onde .

Passo 4

Vamos encontrar , onde . Primeiro, derivamos . Para fazer isso, usamos logaritmos:
Então,

Passo 5

Agora, substituímos na expressão da derivada de :
Lembrando que , então podemos simplificar:

Passo 6

Simplificando a expressão final:

Resposta

A derivada de primeira ordem da função é:

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