- Um tanque cilíndrico em uma fábrica química deve conter
de um líquido corrosivo. Devido ao custo do material, é desejável minimizar a área do tanque. Encontre o raio e a altura ótimos e determine a área resultante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um tanque cilíndrico que precisa armazenar
de líquido corrosivo. O objetivo é descobrir qual o raio e a altura que minimizam a área do tanque, economizando material. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria e cálculo de otimização.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que vamos precisar:
- Volume do cilindro:
- Área superficial do cilindro:
Aqui,
é o raio e
é a altura do cilindro.
Passo 3
Como o volume
é fixo em
, podemos usar essa condição para relacionar
com
. Vamos isolar
na fórmula do volume:
Passo 4
Agora, substituímos essa expressão de
na fórmula da área superficial para ter a área em função apenas de
:
Simplificando:
Passo 5
Para encontrar o valor de
que minimiza a área, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Igualando a derivada a zero:
Passo 6
Vamos resolver essa equação para
:
Passo 7
Agora que encontramos
, vamos calcular
usando a relação que encontramos no Passo 3:
Resposta
O raio ótimo do tanque é aproximadamente
, a altura ótima é aproximadamente
, e a área resultante mínima é aproximadamente
.
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Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
13a
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo: .
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Para cada uma das funções definidas abaixo, calcule a derivada:
.
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo:
.
Determine a ordem, o grau, a linearidade e se é homogênea a equação diferencial