1. Um tanque cilíndrico em uma fábrica química deve conter 2000 m^3 de um líquido corrosivo. Devido ao custo do material, é desejável minimizar a área do tanque. Encontre o raio e a altura ótimos e determine a área resultante.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um tanque cilíndrico que precisa armazenar de líquido corrosivo. O objetivo é descobrir qual o raio e a altura que minimizam a área do tanque, economizando material. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria e cálculo de otimização.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que vamos precisar:
  • Volume do cilindro:
  • Área superficial do cilindro:
Aqui, é o raio e é a altura do cilindro.

Passo 3

Como o volume é fixo em , podemos usar essa condição para relacionar com . Vamos isolar na fórmula do volume:

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão de na fórmula da área superficial para ter a área em função apenas de :
Simplificando:

Passo 5

Para encontrar o valor de que minimiza a área, vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Igualando a derivada a zero:

Passo 6

Vamos resolver essa equação para :

Passo 7

Agora que encontramos , vamos calcular usando a relação que encontramos no Passo 3:

Resposta

O raio ótimo do tanque é aproximadamente , a altura ótima é aproximadamente , e a área resultante mínima é aproximadamente .

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