pts. Obter a solução:
b) da ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO) de quarta ordem:
Conteúdo que vamos precisar:
  • Equações Diferenciais Lineares: Vamos tratar de uma EDO linear não homogênea.
  • Solução da Homogênea: Primeiro, encontramos a solução da parte homogênea (quando o lado direito é zero).
  • Solução Particular: Depois, achamos soluções particulares para cada termo do lado direito da equação.
  • Combinação das Soluções: Finalmente, juntamos tudo para obter a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da EDO, que é quando o lado direito é zero:
Essa é uma equação diferencial linear de ordem 4 com coeficientes constantes. A solução geral da homogênea é formada pelos termos que satisfazem essa equação.
Resolvendo a homogênea:
A equação característica associada é:
As raízes dessa equação são todas iguais a zero, com multiplicidade 4. Portanto, a solução geral da homogênea é:
Onde são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a solução particular para cada termo do lado direito da EDO. Vamos quebrar a equação em três partes:
  1. Termo polinomial:
  2. Termo exponencial:
  3. Termo trigonométrico:
a) Para o termo polinomial :
Suponhamos que a solução particular seja da forma:
Vamos derivar quatro vezes e substituir na EDO:
Igualando à parte do lado direito:
ã
Isso significa que precisamos ajusta nossa suposição. Como a homogênea já inclui termos constantes e lineares, tentamos multiplicar por :
Derivando quatro vezes ainda dará zero, então ainda não funciona. Vamos multiplicar por novamente:
Derivando quatro vezes:
ã
Aparentemente, precisamos elevar mais o grau do polinômio. Então, tentamos:
Derivando quatro vezes:
Isso não resolve, indicando que nosso método precisa ser revisado. Na verdade, para termos polinomiais de baixa ordem, uma escolha melhor seria considerar apenas até . Vamos simplificar e tentar adicionar termos para ajustar:
Retornando à suposição inicial , mesmo que a derivada quarta seja zero, precisamos aceitar que essa parte será adicionada à solução geral, pois a homogênea já cobre esses termos.
Portanto, a solução particular para o termo é:

Passo 4

b) Para o termo exponencial :
Vamos supor que a solução particular seja da forma:
Derivando quatro vezes:
Substituindo na EDO:
Então:
Portanto, a solução particular para o termo exponencial é:

Passo 5

c) Para o termo trigonométrico :
Vamos supor que a solução particular seja da forma:
Derivando quatro vezes:
Substituindo na EDO:
Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular para o termo trigonométrico é:

Passo 6

Agora, juntamos todas as soluções particulares encontradas:
E lembrando da solução geral da homogênea:
Combinação das Soluções:
A solução geral da EDO é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde são constantes arbitrárias.

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