Uma esfera de cobre é aquecida a uma temperatura de 100 °C. No instante t = 0, ela é imersa em água que é mantida a temperatura constante de 30 graus C. Ao fim de 3 minutos, a temperatura da esfera está reduzida a 70 graus C. Determinar o instante em que a temperatura se encontra reduzida a 31 graus C.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício está nos pedindo. Temos uma esfera de cobre aquecida a 100°C que, no instante inicial (t = 0), é mergulhada em água a 30°C. Após 3 minutos, a temperatura da esfera cai para 70°C. Queremos descobrir em quanto tempo a temperatura da esfera chega a 31°C.
Para resolver esse problema, vamos usar a Lei de Resfriamento de Newton, que faz parte do estudo da Transferência de Calor. Essa lei nos ajuda a entender como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando está imerso em um ambiente com temperatura constante.

Passo 2

A Lei de Resfriamento de Newton afirma que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente. Em termos matemáticos, isso pode ser expresso pela seguinte equação diferencial:
Onde:
  • é a temperatura do objeto no tempo .
  • é a temperatura ambiente (no nosso caso, 30°C).
  • é a constante de proporcionalidade positiva que caracteriza a taxa de resfriamento.

Passo 3

Vamos resolver a equação diferencial para encontrar , a temperatura da esfera em função do tempo.
A equação diferencial é:
Podemos reescrever essa equação como:
Agora, integramos ambos os lados:
A integral resulta em:
Onde é a constante de integração. Podemos eliminar o valor absoluto e escrever:
Elevando ambos os lados como potência de :
Podemos substituir por uma nova constante :
Portanto, a solução geral é:

Passo 4

Agora, vamos usar as condições iniciais para determinar as constantes e .
  1. Condição inicial (t = 0): A temperatura inicial da esfera é 100°C.
Substituindo na equação:
  1. Condição após 3 minutos (t = 3): A temperatura da esfera é 70°C.
Substituindo na equação:
Calculando o valor de :

Passo 5

Com os valores de e determinados, nossa equação para a temperatura fica:
Queremos encontrar o tempo quando °C.
Substituindo na equação:
Calculando:

Resposta

O instante em que a temperatura da esfera é reduzida a 31°C ocorre aproximadamente após 22,8 minutos.

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