Uma esfera de cobre é aquecida a uma temperatura de
. No instante
, ela é imersa em água que é mantida a temperatura constante de
. Ao fim de 3 minutos, a temperatura da esfera está reduzida a
. Determinar o instante em que a temperatura se encontra reduzida a
.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o exercício está nos pedindo. Temos uma esfera de cobre aquecida a 100°C que, no instante inicial (t = 0), é mergulhada em água a 30°C. Após 3 minutos, a temperatura da esfera cai para 70°C. Queremos descobrir em quanto tempo a temperatura da esfera chega a 31°C.
Para resolver esse problema, vamos usar a Lei de Resfriamento de Newton, que faz parte do estudo da Transferência de Calor. Essa lei nos ajuda a entender como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando está imerso em um ambiente com temperatura constante.
Passo 2
A Lei de Resfriamento de Newton afirma que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente. Em termos matemáticos, isso pode ser expresso pela seguinte equação diferencial:
Onde:
-
é a temperatura do objeto no tempo . -
é a temperatura ambiente (no nosso caso, 30°C). -
é a constante de proporcionalidade positiva que caracteriza a taxa de resfriamento.
Passo 3
Vamos resolver a equação diferencial para encontrar
, a temperatura da esfera em função do tempo.
A equação diferencial é:
Podemos reescrever essa equação como:
Agora, integramos ambos os lados:
A integral resulta em:
Onde
é a constante de integração. Podemos eliminar o valor absoluto e escrever:
Elevando ambos os lados como potência de
:
Podemos substituir
por uma nova constante
:
Portanto, a solução geral é:
Passo 4
Agora, vamos usar as condições iniciais para determinar as constantes
e
.
- Condição inicial (t = 0): A temperatura inicial da esfera é 100°C.
Substituindo na equação:
- Condição após 3 minutos (t = 3): A temperatura da esfera é 70°C.
Substituindo na equação:
Calculando o valor de
:
Passo 5
Com os valores de
e
determinados, nossa equação para a temperatura fica:
Queremos encontrar o tempo
quando
°C.
Substituindo na equação:
Calculando:
Resposta
O instante em que a temperatura da esfera é reduzida a 31°C ocorre aproximadamente após 22,8 minutos.
Exercícios relacionados
[1 pt.] Classifique a equação (
) com relação a sua ordem, grau, linearidade e se é homogênea ou não-homogênea.
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(e)
(e)
b) da