pts.
a) Resolva, por separação de variáveis, a equação diferencial
.
b) Determine a solução geral da EDO linear
.
a) Resolva, por separação de variáveis, a equação diferencial
b) Determine a solução geral da EDO linear
Passo 1
Então, a gente tem dois problemas aqui envolvendo equações diferenciais. No primeiro, precisamos resolver uma equação usando separação de variáveis, e no segundo, encontrar a solução geral de uma EDO linear. Vamos usar conceitos básicos de cálculo e equações diferenciais para resolver essas questões.
Passo 2
Parte a) A equação que a gente tem é:
Primeiro, vamos reorganizar essa equação para separar as variáveis
e
.
Passo 3
Vamos isolar
do outro lado:
Agora, vamos dividir ambos os lados por
para deixar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados. A ideia aqui é encontrar uma função cuja derivada nos dê o que temos:
Passo 5
Resolvendo as integrais:
Do lado esquerdo:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Passo 6
Igualando as duas expressões:
Vamos resolver para
:
Passo 7
Parte b) A equação dada é uma EDO linear:
Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.
Passo 8
Primeiro, identificamos
e .
O fator integrante é dado por:
O fator integrante
Passo 9
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada de
:
Passo 10
Integramos ambos os lados:
Vamos resolver a integral
usando integração por partes.
Passo 11
Escolhemos
e
. Então,
e .
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Passo 12
Voltando à equação anterior:
Simplificando:
Então, isolando
:
Resposta
a) A solução geral é
.
b) A solução geral é .