pts.
a) Resolva, por separação de variáveis, a equação diferencial .
b) Determine a solução geral da EDO linear .

Passo 1

Então, a gente tem dois problemas aqui envolvendo equações diferenciais. No primeiro, precisamos resolver uma equação usando separação de variáveis, e no segundo, encontrar a solução geral de uma EDO linear. Vamos usar conceitos básicos de cálculo e equações diferenciais para resolver essas questões.

Passo 2

Parte a) A equação que a gente tem é:
Primeiro, vamos reorganizar essa equação para separar as variáveis e .

Passo 3

Vamos isolar do outro lado:
Agora, vamos dividir ambos os lados por para deixar todos os termos com de um lado e os termos com do outro:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados. A ideia aqui é encontrar uma função cuja derivada nos dê o que temos:

Passo 5

Resolvendo as integrais:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:

Passo 6

Igualando as duas expressões:
Vamos resolver para :

Passo 7

Parte b) A equação dada é uma EDO linear:
Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 8

Primeiro, identificamos e .
O fator integrante é dado por:

Passo 9

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante :
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada de :

Passo 10

Integramos ambos os lados:
Vamos resolver a integral usando integração por partes.

Passo 11

Escolhemos e . Então, e .
Aplicando a fórmula de integração por partes:

Passo 12

Voltando à equação anterior:
Simplificando:
Então, isolando :

Resposta

a) A solução geral é .
b) A solução geral é .

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Uma lancha se desloca numa lagoa com uma velocidade de . Em dado instante seu motor é desligado, com isso a lancha sofre uma redução de velocidade proporcional à velocidade instantânea. Sabendo que ao final de 5 segundos sua velocidade é de , qual será o tempo necessário para que a lancha adquira velocidade de ?
pts. Obter a solução:
c) da EDO linear homogênea de ordem 8, com coeficientes constantes, cujas raízes da equação característica são e .
pts. Obter a solução:
a) do PVI ;
Considere a função
em que
Julgue os itens a seguir e assinale a única alternativa correta.
I. Se a função tem apenas 1 ponto crítico.