Uma lancha se desloca numa lagoa com uma velocidade de . Em dado instante seu motor é desligado, com isso a lancha sofre uma redução de velocidade proporcional à velocidade instantânea. Sabendo que ao final de 5 segundos sua velocidade é de , qual será o tempo necessário para que a lancha adquira velocidade de ?

Passo 1

Então, vamos lá! Temos uma lancha que estava viajando a uma velocidade de numa lagoa. De repente, o motor é desligado e, a partir desse momento, a velocidade da lancha começa a diminuir de forma proporcional à sua velocidade atual. Sabendo que após 5 segundos a velocidade caiu para , queremos descobrir quanto tempo levará para a lancha diminuir sua velocidade para . Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais que lidam com taxas de variação proporcionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a velocidade diminuir proporcionalmente à velocidade instantânea. Isso quer dizer que a taxa de diminuição da velocidade ( ) é igual a um fator negativo multiplicado pela velocidade atual ( ). Podemos expressar isso matematicamente como:
Aqui, é uma constante positiva que representa a taxa de decrescimento da velocidade.

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar a expressão da velocidade em função do tempo . A equação que temos é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Podemos separá-las e integrar:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Vamos isolar na equação. Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos simplificar para uma nova constante (que representa a velocidade inicial):

Passo 5

Sabemos que inicialmente, no momento em que o motor foi desligado ( ), a velocidade era . Então, nossa equação fica:

Passo 6

Precisamos encontrar o valor de . Sabemos que após 5 segundos, a velocidade é . Vamos substituir esses valores na equação:
Dividindo ambos os lados por 10:
Agora, aplicamos o logaritmo natural para resolver para :

Passo 7

Calculando :

Passo 8

Com o valor de conhecido, podemos agora encontrar o tempo necessário para a velocidade reduzir para . Usamos a equação:
Dividindo ambos os lados por 10:
Aplicando o logaritmo natural:

Passo 9

Calculando :

Resposta

O tempo necessário para que a lancha reduza sua velocidade para é de aproximadamente 51,6 segundos.

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