Uma lancha se desloca numa lagoa com uma velocidade de
. Em dado instante seu motor é desligado, com isso a lancha sofre uma redução de velocidade proporcional à velocidade instantânea. Sabendo que ao final de 5 segundos sua velocidade é de
, qual será o tempo necessário para que a lancha adquira velocidade de
?
Passo 1
Então, vamos lá! Temos uma lancha que estava viajando a uma velocidade de
numa lagoa. De repente, o motor é desligado e, a partir desse momento, a velocidade da lancha começa a diminuir de forma proporcional à sua velocidade atual. Sabendo que após 5 segundos a velocidade caiu para
, queremos descobrir quanto tempo levará para a lancha diminuir sua velocidade para
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais que lidam com taxas de variação proporcionais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a velocidade diminuir proporcionalmente à velocidade instantânea. Isso quer dizer que a taxa de diminuição da velocidade (
) é igual a um fator negativo multiplicado pela velocidade atual (
). Podemos expressar isso matematicamente como:
Aqui,
é uma constante positiva que representa a taxa de decrescimento da velocidade.
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar a expressão da velocidade
em função do tempo
. A equação que temos é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Podemos separá-las e integrar:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Vamos isolar
na equação. Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos simplificar
para uma nova constante
(que representa a velocidade inicial):
Passo 5
Sabemos que inicialmente, no momento em que o motor foi desligado (
), a velocidade era
. Então, nossa equação fica:
Passo 6
Precisamos encontrar o valor de
. Sabemos que após 5 segundos, a velocidade é
. Vamos substituir esses valores na equação:
Dividindo ambos os lados por 10:
Agora, aplicamos o logaritmo natural para resolver para
:
Passo 7
Calculando
:
Passo 8
Com o valor de
conhecido, podemos agora encontrar o tempo
necessário para a velocidade reduzir para
. Usamos a equação:
Dividindo ambos os lados por 10:
Aplicando o logaritmo natural:
Passo 9
Calculando
:
Resposta
O tempo necessário para que a lancha reduza sua velocidade para
é de aproximadamente 51,6 segundos.
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