2.5 pts. ] Obter a solução:
a) do PVI y'' + 4y = 0 com y(0) = 3 e y'(0) = 3;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais e . Vamos precisar de conhecimentos sobre equações lineares homogêneas com coeficientes constantes para resolver isso.

Passo 2

Para resolver essa equação diferencial, vamos começar encontrando a equação característica. Para uma equação da forma , a equação característica é . No nosso caso, e , então a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica . Isso nos dá:
As raízes são complexas, o que significa que a solução geral será em termos de funções trigonométricas.

Passo 4

Quando as raízes são complexas da forma , a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso, e , então a solução geral simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e . Primeiro, aplicamos :

Passo 6

Em seguida, precisamos encontrar para aplicar a segunda condição inicial . Derivando a solução geral:
Aplicando :

Resposta

A solução do PVI é:

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