Considere a função
em que
Julgue os itens a seguir e assinale a única alternativa correta.
I. Se
a função tem apenas 1 ponto crítico.
Julgue os itens a seguir e assinale a única alternativa correta.
I. Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função de duas variáveis:
onde
é um número real. A questão pede para julgarmos se a afirmação “Se
, a função tem apenas 1 ponto crítico” é verdadeira. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre pontos críticos de funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que são pontos críticos. Em funções de duas variáveis, um ponto crítico é onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero simultaneamente. Ou seja, vamos encontrar
e
e resolver o sistema
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos resolver o sistema de equações
e
:
Vamos começar pela equação (1):
Como
, podemos dividir ambos os lados por
:
Isso nos dá duas possibilidades:
A segunda possibilidade,
, não tem solução real, pois
sempre é positivo ou zero, tornando
sempre maior que zero. Portanto, a única solução real para
é
.
Passo 5
Agora, vamos substituir
na equação (2):
Portanto, o único ponto crítico é
.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Quando
, a função
tem apenas 1 ponto crítico em
.
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O corpo de uma vítima de assassinato é achado a uma temperatura de
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.
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