Considere a função
em que
Julgue os itens a seguir e assinale a única alternativa correta.
I. Se a função tem apenas 1 ponto crítico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função de duas variáveis:
onde é um número real. A questão pede para julgarmos se a afirmação “Se , a função tem apenas 1 ponto crítico” é verdadeira. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre pontos críticos de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que são pontos críticos. Em funções de duas variáveis, um ponto crítico é onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero simultaneamente. Ou seja, vamos encontrar e e resolver o sistema e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos resolver o sistema de equações e :
Vamos começar pela equação (1):
Como , podemos dividir ambos os lados por :
Isso nos dá duas possibilidades:
A segunda possibilidade, , não tem solução real, pois sempre é positivo ou zero, tornando sempre maior que zero. Portanto, a única solução real para é .

Passo 5

Agora, vamos substituir na equação (2):
Portanto, o único ponto crítico é .

Resposta

A afirmação é verdadeira. Quando , a função tem apenas 1 ponto crítico em .

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pts. Obter a solução:
a) do PVI ;
pts.
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