O corpo de uma vítima de assassinato é achado a uma temperatura de , ao meio-dia, numa sala com temperatura constante de ; duas horas depois a temperatura do corpo é de .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente tem um corpo que foi encontrado com uma temperatura de ao meio-dia, numa sala que mantém uma temperatura constante de . Duas horas depois, ou seja, às 14 horas, a temperatura do corpo caiu para . O conteúdo da matéria aqui é a Lei de Resfriamento de Newton, que nos ajuda a determinar como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo em relação à temperatura ambiente. Vamos precisar usar essa lei para descobrir, por exemplo, a que horas o corpo começou a esfriar, ou seja, a hora da morte.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Lei de Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. Em termos matemáticos, a fórmula é:
Onde:
  • é a temperatura do objeto no tempo .
  • é a temperatura ambiente.
  • é a constante de resfriamento.
  • representa a taxa de variação da temperatura.

Passo 3

Vamos resolver a equação diferencial da Lei de Resfriamento de Newton. A equação é:
Para resolver, separamos as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Podemos simplificar e reescrever a solução geral como:
Aqui, é a temperatura inicial do objeto no tempo .

Passo 4

Vamos identificar os valores que temos no problema:
  • (temperatura da sala)
  • ao meio-dia ( )
  • às 14 horas, ou seja, duas horas depois ( horas)
Precisamos encontrar a constante e, posteriormente, determinar o tempo desde que o corpo começou a esfriar até o momento do achado.

Passo 5

Vamos usar os dados para encontrar . No meio-dia ( ):
Agora, às 14 horas ( horas):
Simplificando:

Passo 6

Para encontrar , vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Calculando:

Passo 7

Agora que temos , vamos voltar à equação da temperatura para encontrar o tempo desde a morte ( ) até o achado do corpo.
A equação é:
Sabemos que no achado do corpo (temp ao meio-dia), e duas horas depois ( ) a temperatura é . Queremos saber quando era igual à temperatura normal do corpo humano, geralmente .
Vamos resolver para quando :
Como é maior que 1 e a exponencial nunca é maior que 1 para valores positivos de , isso indica que o corpo não estava fresquinho inicialmente. Então, parece que houve um erro no pressuposto. Vamos reconsiderar.
Na verdade, ao meio-dia a temperatura do corpo já estava abaixando. Portanto, para encontrar o tempo desde a morte até o achado, podemos usar a temperatura inicial do corpo, que provavelmente era .
Vamos ajustar a equação considerando que :
Aplicando logaritmo natural:
Substituindo :
Isso significa que o corpo começou a esfriar aproximadamente 1,75 horas antes do meio-dia, ou seja, por volta das 10:15 da manhã.

Resposta

O corpo começou a esfriar por volta das 10:15 da manhã.

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Considere a função
em que
Julgue os itens a seguir e assinale a única alternativa correta.
I. Se a função tem apenas 1 ponto crítico.
pts. Obter a solução:
a) do PVI ;
Antes de resolver o PVI, descreva em palavras como você espera que a temperatura do produto químico dentro do tubo de ensaio se comporte no curto prazo. E no longo prazo?
Sabe-se que a população de determinada cidade aumenta a uma taxa proporcional ao número de habitantes. Se, após 2 anos, a população duplicou e, após 3 anos, é de 20.000 habitantes, estimar o número inicial de habitantes (4 casas decimais).