O corpo de uma vítima de assassinato é achado a uma temperatura de
, ao meio-dia, numa sala com temperatura constante de
; duas horas depois a temperatura do corpo é de
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente tem um corpo que foi encontrado com uma temperatura de
ao meio-dia, numa sala que mantém uma temperatura constante de
. Duas horas depois, ou seja, às 14 horas, a temperatura do corpo caiu para
. O conteúdo da matéria aqui é a Lei de Resfriamento de Newton, que nos ajuda a determinar como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo em relação à temperatura ambiente. Vamos precisar usar essa lei para descobrir, por exemplo, a que horas o corpo começou a esfriar, ou seja, a hora da morte.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Lei de Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. Em termos matemáticos, a fórmula é:
Onde:
-
é a temperatura do objeto no tempo . -
é a temperatura ambiente. -
é a constante de resfriamento. -
representa a taxa de variação da temperatura.
Passo 3
Vamos resolver a equação diferencial da Lei de Resfriamento de Newton. A equação é:
Para resolver, separamos as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Podemos simplificar e reescrever a solução geral como:
Aqui,
é a temperatura inicial do objeto no tempo
.
Passo 4
Vamos identificar os valores que temos no problema:
-
(temperatura da sala) -
ao meio-dia ( ) -
às 14 horas, ou seja, duas horas depois ( horas)
Precisamos encontrar a constante
e, posteriormente, determinar o tempo desde que o corpo começou a esfriar até o momento do achado.
Passo 5
Vamos usar os dados para encontrar
. No meio-dia (
):
Agora, às 14 horas (
horas):
Simplificando:
Passo 6
Para encontrar
, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Calculando:
Passo 7
Agora que temos
, vamos voltar à equação da temperatura para encontrar o tempo desde a morte (
) até o achado do corpo.
A equação é:
Sabemos que no achado do corpo (temp
ao meio-dia), e duas horas depois (
) a temperatura é
. Queremos saber quando
era igual à temperatura normal do corpo humano, geralmente
.
Vamos resolver para
quando
:
Como
é maior que 1 e a exponencial nunca é maior que 1 para valores positivos de
, isso indica que o corpo não estava fresquinho inicialmente. Então, parece que houve um erro no pressuposto. Vamos reconsiderar.
Na verdade, ao meio-dia a temperatura do corpo já estava abaixando. Portanto, para encontrar o tempo desde a morte até o achado, podemos usar a temperatura inicial do corpo, que provavelmente era
.
Vamos ajustar a equação considerando que
:
Aplicando logaritmo natural:
Substituindo
:
Isso significa que o corpo começou a esfriar aproximadamente 1,75 horas antes do meio-dia, ou seja, por volta das 10:15 da manhã.
Resposta
O corpo começou a esfriar por volta das 10:15 da manhã.
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