[2,0 pts.] 1) Parametrize a curva C definida por
C: { 2z² + y² - 2y, x² + y² + 2z² = 4, x ≥ 0 }
e esboce duas de suas projeções nos planos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma curva definida por dois sistemas de equações:
O conteúdo envolvido aqui é de Geometria Analítica, especificamente sobre parametrização de curvas e projeções nos planos coordenados. Para resolver, vamos precisar usar algumas técnicas de álgebra para expressar , e em função de um parâmetro, que vamos chamar de .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira equação:
Podemos rearranjar essa equação para facilitar a parametrização. Vamos isolar :
Agora, como precisa ser positivo ou zero, isso nos dá uma condição para . Vamos usar como nosso parâmetro.

Passo 3

Vamos definir nosso parâmetro como sendo :
Com isso, substituímos por na expressão de :
Lembrando que a raiz quadrada precisa ser real, então:
Isso implica que está no intervalo .

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda equação do sistema:
Já sabemos que e . Substituindo esses valores:
Como , usamos a raiz positiva.

Passo 5

Então, resumindo, nossa parametrização fica:
Com isso, conseguimos expressar , e em função de , que varia de 0 a 2 para que todas as expressões sejam válidas.

Resposta

A parametrização da curva é dada por:
Além disso, as projeções nos planos coordenados podem ser esboçadas traçando as funções versus e versus para no intervalo .

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