e esboce duas de suas projeções nos planos coordenados.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma curva definida por dois sistemas de equações:
O conteúdo envolvido aqui é de Geometria Analítica, especificamente sobre parametrização de curvas e projeções nos planos coordenados. Para resolver, vamos precisar usar algumas técnicas de álgebra para expressar , e em função de um parâmetro, que vamos chamar de .
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira equação:
Podemos rearranjar essa equação para facilitar a parametrização. Vamos isolar :
Agora, como precisa ser positivo ou zero, isso nos dá uma condição para . Vamos usar como nosso parâmetro.
Passo 3
Vamos definir nosso parâmetro como sendo :
Com isso, substituímos por na expressão de :
Lembrando que a raiz quadrada precisa ser real, então:
Isso implica que está no intervalo .
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda equação do sistema:
Já sabemos que e . Substituindo esses valores:
Como , usamos a raiz positiva.
Passo 5
Então, resumindo, nossa parametrização fica:
Com isso, conseguimos expressar , e em função de , que varia de 0 a 2 para que todas as expressões sejam válidas.
Resposta
A parametrização da curva é dada por:
Além disso, as projeções nos planos coordenados podem ser esboçadas traçando as funções versus e versus para no intervalo .