Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função (como no Exemplo 7). Não determine os valores numéricos dos coeficientes.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para decompor uma fração em frações parciais. Isso faz parte do estudo de frações parciais, que é uma técnica usada em cálculo para simplificar integrais racionais. A função que vamos decompor é:
Para resolver isso, vamos precisar identificar os fatores do denominador e ver como podemos dividir a fração original em partes menores que são mais fáceis de trabalhar.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os fatores do denominador:
-
: Esse é um polinômio de segundo grau que não pode ser fatorado mais com números reais. -
: Esse também é um polinômio de segundo grau, mas está elevado ao quadrado, ou seja, multiplicado por ele mesmo.
Quando temos fatores que são polinômios de segundo grau e que não podem ser fatorados mais, usamos termos da forma:
Passo 3
Agora, vamos montar a forma geral da decomposição em frações parciais com base nos fatores que identificamos:
Aqui,
e
são coeficientes que a gente precisaria determinar se precisássemos resolver completamente, mas o exercício pediu apenas para escrever a forma da decomposição, sem calcular esses valores.
Resposta
A decomposição em frações parciais da função é: