Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função (como no Exemplo 7). Não determine os valores numéricos dos coeficientes.
(b) x^4 / ((x^2 - x + 1)(x^2 + 2)^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para decompor uma fração em frações parciais. Isso faz parte do estudo de frações parciais, que é uma técnica usada em cálculo para simplificar integrais racionais. A função que vamos decompor é:
Para resolver isso, vamos precisar identificar os fatores do denominador e ver como podemos dividir a fração original em partes menores que são mais fáceis de trabalhar.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os fatores do denominador:
  • : Esse é um polinômio de segundo grau que não pode ser fatorado mais com números reais.
  • : Esse também é um polinômio de segundo grau, mas está elevado ao quadrado, ou seja, multiplicado por ele mesmo.
Quando temos fatores que são polinômios de segundo grau e que não podem ser fatorados mais, usamos termos da forma:

Passo 3

Agora, vamos montar a forma geral da decomposição em frações parciais com base nos fatores que identificamos:
Aqui, e são coeficientes que a gente precisaria determinar se precisássemos resolver completamente, mas o exercício pediu apenas para escrever a forma da decomposição, sem calcular esses valores.

Resposta

A decomposição em frações parciais da função é:

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