Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função (como no Exemplo 7). Não determine os valores numéricos dos coeficientes.
(b) x^2 / (x^2 + x + 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para decompor a função fracionária em frações parciais, sem precisar calcular os coeficientes numéricos. Vamos usar o conteúdo de Álgebra, especificamente a técnica de decomposição em frações parciais. Para isso, vamos precisar entender como manipular frações e identificar se precisamos fazer alguma divisão antes de decompor.

Passo 2

Primeiro, observamos que o grau do numerador ( ) é igual ao grau do denominador ( ). Nessa situação, é importante fazer uma divisão polinomial para simplificar a expressão antes de aplicar a decomposição em frações parciais.

Passo 3

Vamos dividir por . Como os graus são iguais, a divisão fica simples:
Aqui, é o resultado da divisão, e é o resto da divisão.

Passo 4

Agora, a expressão está na forma:
Como o denominador é um polinômio de segundo grau que não pode ser fatorado em números reais, não precisamos decompor mais essa parte. Porém, para seguir o formato de frações parciais, podemos escrever o resto da fração assim:
onde e são coeficientes que, normalmente, seriam determinados, mas conforme o enunciado, não precisamos calcular esses valores agora.

Resposta

A decomposição em frações parciais da função é:

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