Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função (como no Exemplo 7). Não determine os valores numéricos dos coeficientes.
(b) x^2 / (x^2 + x + 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para decompor a função fracionária em frações parciais, sem precisar calcular os coeficientes numéricos. Vamos usar o conteúdo de Álgebra, especificamente a técnica de decomposição em frações parciais. Para isso, vamos precisar entender como manipular frações e identificar se precisamos fazer alguma divisão antes de decompor.

Passo 2

Primeiro, observamos que o grau do numerador ( ) é igual ao grau do denominador ( ). Nessa situação, é importante fazer uma divisão polinomial para simplificar a expressão antes de aplicar a decomposição em frações parciais.

Passo 3

Vamos dividir por . Como os graus são iguais, a divisão fica simples:
Aqui, é o resultado da divisão, e é o resto da divisão.

Passo 4

Agora, a expressão está na forma:
Como o denominador é um polinômio de segundo grau que não pode ser fatorado em números reais, não precisamos decompor mais essa parte. Porém, para seguir o formato de frações parciais, podemos escrever o resto da fração assim:
onde e são coeficientes que, normalmente, seriam determinados, mas conforme o enunciado, não precisamos calcular esses valores agora.

Resposta

A decomposição em frações parciais da função é:

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(a) x/(x^2+x-2)
Encontre a área da região limitada pelas retas e pelas curvas dadas a seguir. y = x^2, y = 2 - x, y = 0 (Primeiro quadrante)
[2,0 pts.] 1) Parametrize a curva C definida por
C: { 2z² + y² - 2y, x² + y² + 2z² = 4, x ≥ 0 }
e esboce duas de suas projeções nos planos coordenados.