Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função (como no Exemplo 7). Não determine os valores numéricos dos coeficientes.
(a)
(a)
Passo 1
Entendendo o problema e o que vamos precisar
Então, a gente tem que fazer a decomposição em frações parciais da função:
A decomposição em frações parciais é uma técnica usada em cálculo para quebrar uma fração complexa em frações mais simples, que são mais fáceis de trabalhar, especialmente quando estamos integrando ou resolvendo equações diferenciais.
Para resolver isso, vamos precisar:
- Divisão de polinômios: Porque o grau do polinômio no numerador (4) é maior ou igual ao grau do denominador (2).
- Fatoração do denominador: Para identificar os fatores lineares ou quadráticos que vão compor as frações parciais.
- Configurar as frações parciais com coeficientes desconhecidos que depois serão determinados.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se precisamos fazer a divisão de polinômios
Como o grau do numerador (4) é maior que o grau do denominador (2), precisamos dividir o numerador pelo denominador antes de decompor em frações parciais. Isso nos ajuda a simplificar a expressão.
Passo 3
Dividindo o numerador pelo denominador
Vamos dividir
por
.
- Dividimos o primeiro termo do numerador
pelo primeiro termo do denominador para obter . - Multiplicamos
por todo o denominador para obter . - Subtraímos essa expressão do numerador original:
- Repetimos o processo com o novo polinômio
:
- Dividimos
por para obter . - Multiplicamos
pelo denominador para obter . - Subtraímos:
- Mais uma vez:
- Dividimos
por para obter . - Multiplicamos
pelo denominador para obter . - Subtraímos:
Agora, temos:
Passo 4
Fatorando o denominador
Vamos fatorar o denominador
. Isso pode ser feito reconhecendo que é um quadrado perfeito:
Passo 5
Configurando as frações parciais
Agora, nossa expressão ficou assim:
Queremos decompor a fração
em frações mais simples. Como o denominador é
, que é um fator linear repetido, a forma das frações parciais será:
onde
e
são coeficientes que a gente precisa determinar. Mas como o exercício pede para NÃO determinar os valores numéricos dos coeficientes, vamos apenas deixar a configuração.
Resposta
A decomposição em frações parciais da função dada é:
Exercícios relacionados
[2,0 pts.] 1) Parametrize a curva
definida por
e esboce duas de suas projeções nos planos coordenados.
Encontre a área da região limitada pelas retas e pelas curvas dadas a seguir.
(Primeiro quadrante)
Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função (como no Exemplo 7). Não determine os valores numéricos dos coeficientes.
(b)
(b)
[2,0 pts.] 1) Parametrize a curva
definida por
e esboce duas de suas projeções nos planos coordenados.