Encontre a área da região limitada pelas retas e pelas curvas dadas a seguir. y = x^2, y = 2 - x, y = 0 (Primeiro quadrante)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a área da região que está limitada pelas curvas e retas , e no primeiro quadrante. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente no cálculo de áreas entre curvas usando integrais. Para resolver isso, vamos precisar identificar onde essas curvas se encontram e depois configurar uma integral que nos dá essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas se intersectam, já que esses pontos determinarão os limites de onde vamos integrar. Vamos igualar e :
Resolvendo essa equação:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Onde , , e :
Então temos duas soluções:
Como estamos no primeiro quadrante, consideramos .

Passo 3

Agora que sabemos que as curvas se cruzam em , vamos identificar qual função está acima da outra nesse intervalo. Observando e :
Para :
Então, em , está acima de . E em , elas se igualam. Portanto, a área entre elas de a é a diferença entre e .

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral para encontrar a área :
Vamos resolver essa integral passo a passo:
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da integral:
Agora, integramos termo a termo:
Calculando em :
E em :
Portanto, a área é:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas dadas no primeiro quadrante é unidades quadradas.

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