Encontre a área da região limitada pelas retas e pelas curvas dadas a seguir.
(Primeiro quadrante)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a área da região que está limitada pelas curvas e retas
,
e
no primeiro quadrante. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente no cálculo de áreas entre curvas usando integrais. Para resolver isso, vamos precisar identificar onde essas curvas se encontram e depois configurar uma integral que nos dá essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas se intersectam, já que esses pontos determinarão os limites de onde vamos integrar. Vamos igualar
e
:
Resolvendo essa equação:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Onde
,
, e
:
Então temos duas soluções:
Como estamos no primeiro quadrante, consideramos
.
Passo 3
Agora que sabemos que as curvas se cruzam em
, vamos identificar qual função está acima da outra nesse intervalo. Observando
e
:
Para
:
Então, em
,
está acima de
. E em
, elas se igualam. Portanto, a área entre elas de
a
é a diferença entre
e
.
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral para encontrar a área
:
Vamos resolver essa integral passo a passo:
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da integral:
Agora, integramos termo a termo:
Calculando em
:
E em
:
Portanto, a área é:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas dadas no primeiro quadrante é
unidades quadradas.