Encontre a área da região limitada pelas retas e pelas curvas dadas a seguir. y = x^2, y = 2 - x, y = 0 (Primeiro quadrante)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a área da região que está limitada pelas curvas e retas , e no primeiro quadrante. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente no cálculo de áreas entre curvas usando integrais. Para resolver isso, vamos precisar identificar onde essas curvas se encontram e depois configurar uma integral que nos dá essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas se intersectam, já que esses pontos determinarão os limites de onde vamos integrar. Vamos igualar e :
Resolvendo essa equação:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Onde , , e :
Então temos duas soluções:
Como estamos no primeiro quadrante, consideramos .

Passo 3

Agora que sabemos que as curvas se cruzam em , vamos identificar qual função está acima da outra nesse intervalo. Observando e :
Para :
Então, em , está acima de . E em , elas se igualam. Portanto, a área entre elas de a é a diferença entre e .

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral para encontrar a área :
Vamos resolver essa integral passo a passo:
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da integral:
Agora, integramos termo a termo:
Calculando em :
E em :
Portanto, a área é:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas dadas no primeiro quadrante é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função (como no Exemplo 7). Não determine os valores numéricos dos coeficientes.
(b) x^2 / (x^2 + x + 2)
Encontre a área da região limitada pelas retas e pelas curvas dadas a seguir. y = e^(x / 2), y = -x, x = 0, x = 2
[2,0 pts.] 1) Parametrize a curva C definida por
C: { 2z² + y² - 2y, x² + y² + 2z² = 4, x ≥ 0 }
e esboce duas de suas projeções nos planos coordenados.
Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função (como no Exemplo 7). Não determine os valores numéricos dos coeficientes.
(a) (x^4 - 2 x^3 + x^2 + 2 x - 1) / (x^2 + 2 x + 1)