e esboce duas de suas projeções nos planos coordenados.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente precisa parametrizar a curva que é definida pelas equações:
Além disso, precisamos esboçar duas projeções dessa curva nos planos coordenados. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como parametrização de curvas e completar o quadrado para identificar a forma da curva no plano .
Passo 2
Primeiro, vamos focar na equação . Nosso objetivo é reformular essa equação para uma forma mais familiar, como a de uma elipse, para facilitar a parametrização.
Primeiro, reorganizamos a equação:
Agora, vamos completar o quadrado para o termo em :
Dividindo ambos os lados por 2, temos:
Essa é a equação padrão de uma elipse centrada em com semi-eixos e 1.
Passo 3
Agora que identificamos a forma da curva no plano , vamos parametrizar e usando um parâmetro , que varia de 0 a .
Para uma elipse com a equação , a parametrização é:
No nosso caso, , e . Então:
Passo 4
Agora que temos e , vamos encontrar usando a primeira equação dada:
Substituindo e :
Vamos simplificar dentro da raiz:
Sabemos que , então:
Portanto:
Passo 5
Agora temos a parametrização completa da curva :
Com essa parametrização, podemos facilmente esboçar as projeções nos planos coordenados.
Passo 6
Para as projeções, vamos considerar os seguintes planos:
Plano : Já vimos que é uma elipse centrada em com semi-eixos e 1.
Plano : Usando e , temos:
Então, a projeção no plano relaciona com através de .