[2,0 pts.] 1) Parametrize a curva C definida por
C: { z = 2 - raiz(2y^2 + x^2) ; x^2 + 2y^2 = 4y }
e esboce duas de suas projeções nos planos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente precisa parametrizar a curva que é definida pelas equações:
Além disso, precisamos esboçar duas projeções dessa curva nos planos coordenados. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como parametrização de curvas e completar o quadrado para identificar a forma da curva no plano .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na equação . Nosso objetivo é reformular essa equação para uma forma mais familiar, como a de uma elipse, para facilitar a parametrização.
Primeiro, reorganizamos a equação:
Agora, vamos completar o quadrado para o termo em :
Dividindo ambos os lados por 2, temos:
Essa é a equação padrão de uma elipse centrada em com semi-eixos e 1.

Passo 3

Agora que identificamos a forma da curva no plano , vamos parametrizar e usando um parâmetro , que varia de 0 a .
Para uma elipse com a equação , a parametrização é:
No nosso caso, , e . Então:

Passo 4

Agora que temos e , vamos encontrar usando a primeira equação dada:
Substituindo e :
Vamos simplificar dentro da raiz:
Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 5

Agora temos a parametrização completa da curva :
Com essa parametrização, podemos facilmente esboçar as projeções nos planos coordenados.

Passo 6

Para as projeções, vamos considerar os seguintes planos:
  1. Plano : Já vimos que é uma elipse centrada em com semi-eixos e 1.
  2. Plano : Usando e , temos:
Então, a projeção no plano relaciona com através de .

Resposta

A parametrização da curva é dada por:
para .
As projeções nos planos coordenados são:
  1. Projeção no plano :
  1. Projeção no plano :

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