Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função (como no Exemplo 7). Não determine os valores numéricos dos coeficientes.
(a)
(a)
Passo 1
Então, pessoal, a gente tem esse exercício que pede pra gente escrever a decomposição em frações parciais da função
. Isso envolve o conteúdo de frações parciais, que é uma técnica da álgebra pra gente quebrar uma fração mais complexa em outras mais simples. Vamos precisar verificar os graus do numerador e do denominador e, se necessário, fazer uma divisão polinomial antes de decompor.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar os graus dos polinômios. O grau do numerador é 6 porque a maior potência de
é
, e o grau do denominador é 2 porque a maior potência de
no denominador é
. Como o grau do numerador (6) é maior que o do denominador (2), a gente precisa fazer uma divisão polinomial para deixar a fração na forma apropriada para decomposição.
Passo 3
Vamos dividir
por
. Essa divisão vai nos dar um quociente (que é um polinômio) e um resto. A ideia é expressar a fração original como a soma desse quociente mais o resto dividido pelo denominador original. Isso facilita a decomposição em frações parciais.
Passo 4
Após a divisão polinomial, a gente tem uma expressão do tipo:
Onde
é o quociente da divisão e
é o resto. Nossa próxima etapa é decompor a fração
em frações mais simples.
Passo 5
Agora, vamos fatorar o denominador
. Sabemos que isso pode ser escrito como
. Com o denominador fatorado, a decomposição em frações parciais vai ter a forma:
Onde
e
são os coeficientes que a gente não precisa determinar agora.
Resposta
A decomposição em frações parciais da função
é:
Onde
é o polinômio resultante da divisão e
,
são coeficientes a serem determinados.