Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função (como no Exemplo 7). Não determine os valores numéricos dos coeficientes.
(a) x^6/(x^2-4)

Passo 1

Então, pessoal, a gente tem esse exercício que pede pra gente escrever a decomposição em frações parciais da função . Isso envolve o conteúdo de frações parciais, que é uma técnica da álgebra pra gente quebrar uma fração mais complexa em outras mais simples. Vamos precisar verificar os graus do numerador e do denominador e, se necessário, fazer uma divisão polinomial antes de decompor.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar os graus dos polinômios. O grau do numerador é 6 porque a maior potência de é , e o grau do denominador é 2 porque a maior potência de no denominador é . Como o grau do numerador (6) é maior que o do denominador (2), a gente precisa fazer uma divisão polinomial para deixar a fração na forma apropriada para decomposição.

Passo 3

Vamos dividir por . Essa divisão vai nos dar um quociente (que é um polinômio) e um resto. A ideia é expressar a fração original como a soma desse quociente mais o resto dividido pelo denominador original. Isso facilita a decomposição em frações parciais.

Passo 4

Após a divisão polinomial, a gente tem uma expressão do tipo:
Onde é o quociente da divisão e é o resto. Nossa próxima etapa é decompor a fração em frações mais simples.

Passo 5

Agora, vamos fatorar o denominador . Sabemos que isso pode ser escrito como . Com o denominador fatorado, a decomposição em frações parciais vai ter a forma:
Onde e são os coeficientes que a gente não precisa determinar agora.

Resposta

A decomposição em frações parciais da função é:
Onde é o polinômio resultante da divisão e , são coeficientes a serem determinados.

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