Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e encontre a função que satisfaça a condição inicial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aqui:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e linear. O que a gente vai precisar para resolver é o método do fator integrante, que é uma técnica bem legal para encontrar soluções dessas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
No nosso caso, comparando com a equação dada:
Então, nossa equação já está na forma padrão.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante . Esse fator ajuda a simplificar a equação para que possamos integrá-la facilmente. A fórmula para o fator integrante é:
Substituindo :

Passo 4

Com o fator integrante em mãos, vamos multiplicar toda a equação diferencial por :
Perceba que o lado esquerdo da equação agora se transforma na derivada do produto . Ou seja:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
Integrando:
Aqui, é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 6

Para encontrar , vamos isolar essa variável:

Passo 7

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Simplificando:
Como não é zero, temos:

Resposta

A solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial é:

Exercícios relacionados

Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e encontre a solução que satisfaça a condição inicial fornecida.
Considere a equação diferencial:
ou, utilizando a notação :
Resolva a equação diferencial e determine a solução .
Seja o campo vetorial , onde . Mostre que o fluxo do campo ao longo de uma esfera dada por independe do raio da esfera.
Dica: Calcule o fluxo diretamente, pois não vale o Ieorema da Divergência.