Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e encontre a função
que satisfaça a condição inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aqui:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e linear. O que a gente vai precisar para resolver é o método do fator integrante, que é uma técnica bem legal para encontrar soluções dessas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
No nosso caso, comparando com a equação dada:
Então, nossa equação já está na forma padrão.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
. Esse fator ajuda a simplificar a equação para que possamos integrá-la facilmente. A fórmula para o fator integrante é:
Substituindo
:
Passo 4
Com o fator integrante em mãos, vamos multiplicar toda a equação diferencial por
:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora se transforma na derivada do produto
. Ou seja:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
Integrando:
Aqui,
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 6
Para encontrar
, vamos isolar essa variável:
Passo 7
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Simplificando:
Como
não é zero, temos:
Resposta
A solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial é:
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Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e encontre a solução
que satisfaça a condição inicial fornecida.
Considere a equação diferencial:
ou, utilizando a notação
:
Resolva a equação diferencial e determine a solução
.
Dica: Calcule o fluxo diretamente, pois não vale o Ieorema da Divergência.