Considere a equação diferencial:
ou, utilizando a notação :
Resolva a equação diferencial e determine a solução .

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método de integração, especificamente aplicando a técnica de substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, percebemos que a equação diferencial pode ser escrita como:
Para encontrar , precisamos integrar ambos os lados em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 3

Para resolver a integral , vamos usar a substituição. Vamos definir uma nova variável tal que:
Então, derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Substituindo e na integral:
Aqui, os termos se cancelam, simplificando a integral.

Passo 5

Agora, integrando em relação a :
Voltando à variável original , já que :

Resposta

A solução da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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Resolva a equação diferencial e encontre a solução que satisfaça a condição inicial fornecida.
Seja o campo vetorial , onde . Mostre que o fluxo do campo ao longo de uma esfera dada por independe do raio da esfera.
Dica: Calcule o fluxo diretamente, pois não vale o Ieorema da Divergência.
Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e determine a solução .