30
Calcule a área da região delimitada por e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a área da região delimitada pelas curvas e . Aqui, estamos lidando com cálculo de áreas entre curvas, que envolve encontrar os pontos onde essas curvas se cruzam e depois integrar a diferença entre elas para achar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas expressões para :

Passo 3

Resolvendo a equação :
Isso é uma equação quadrática que podemos resolver pela fatoração.

Passo 4

Fatorando :
Então, as soluções são e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os valores de correspondentes usando :
  • Para :
  • Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 6

Agora, vamos configurar a integral para calcular a área. A área entre duas curvas de a é dada por:
Á
Aqui, a curva pode ser rearranjada para , e já está na forma necessária.

Passo 7

Identificamos que e . Os limites de integração são de a .
Então, a integral fica:
Á

Passo 8

Simplificando a expressão dentro da integral:
Então,
Á

Passo 9

Vamos integrar termo a termo:
Então,
Á

Passo 10

Agora, substituímos os limites de integração:
Para :
Para :

Passo 11

Calculando a diferença:
Á

Resposta

A área da região é unidades de área.

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20
Calcule
Encontre o vetor gradiente da função no ponto dado. Depois, esboce o gradiente junto com a curva de nível que passa pelo ponto:
(b) ,
© Mostre que qualquer direcção ortogonal ao gradiente é uma direç̧ão de variação zero em .
36
Calcule
onde é a região delimitada superiormente pela esfera e inferiormente pelo cône .