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Calcule a área da região
delimitada por
e
.
Calcule a área da região
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a área da região delimitada pelas curvas
e
. Aqui, estamos lidando com cálculo de áreas entre curvas, que envolve encontrar os pontos onde essas curvas se cruzam e depois integrar a diferença entre elas para achar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas expressões para
:
Passo 3
Resolvendo a equação
:
Isso é uma equação quadrática que podemos resolver pela fatoração.
Passo 4
Fatorando
:
Então, as soluções são
e
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os valores de
correspondentes usando
:
-
Para
: -
Para
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 6
Agora, vamos configurar a integral para calcular a área. A área entre duas curvas de
a
é dada por:
Aqui, a curva
pode ser rearranjada para
, e
já está na forma necessária.
Passo 7
Identificamos que
e
. Os limites de integração são de
a
.
Então, a integral fica:
Passo 8
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então,
Passo 9
Vamos integrar termo a termo:
Então,
Passo 10
Agora, substituímos os limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 11
Calculando a diferença:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
20
Calcule
Calcule
Encontre o vetor gradiente da função no ponto dado. Depois, esboce o gradiente junto com a curva de nível que passa pelo ponto:
(b) ,
(b)
© Mostre que qualquer direcção
ortogonal ao gradiente é uma direç̧ão de variação zero em
.
36
Calcule
Calcule
onde
é a região delimitada superiormente pela esfera
e inferiormente pelo cône
.