© Mostre que qualquer direcção u ortogonal ao gradiente é uma direç̧ão de variação zero em f.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para mostrar que qualquer direção u que seja ortogonal ao gradiente de f resulta em uma variação zero na função f. Estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com derivadas direcionais e gradientes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o gradiente, derivada direcional e o que significa ser ortogonal.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função f, denotado por nabla f, é um vetor que aponta na direção de maior aumento de f. Ele é composto pelas derivadas parciais de f em relação a cada variável. Por exemplo, se f(x, y), então:

Passo 3

Agora, a derivada direcional de f na direção de um vetor unitário u é dada pelo produto escalar entre o gradiente de f e u:
Isso nos diz como f muda na direção de u.

Passo 4

Se a direção u for ortogonal ao gradiente nabla f, isso significa que o ângulo entre eles é de 90 graus. E sabemos que o produto escalar entre dois vetores é dado por:
Onde theta é o ângulo entre os vetores.

Passo 5

Como u é ortogonal a nabla f, temos que . E sabemos que . Portanto:

Passo 6

Lembrando que a derivada direcional é igual a , concluímos que:
Isso significa que na direção ortogonal ao gradiente, a função f não varia; ou seja, a variação é zero.

Resposta

Qualquer direção u ortogonal ao gradiente nabla f resulta em uma variação zero na função f, ou seja, .

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