© Mostre que qualquer direcção
ortogonal ao gradiente é uma direç̧ão de variação zero em
.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para mostrar que qualquer direção
que seja ortogonal ao gradiente de
resulta em uma variação zero na função
. Estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com derivadas direcionais e gradientes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o gradiente, derivada direcional e o que significa ser ortogonal.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função
, denotado por
, é um vetor que aponta na direção de maior aumento de
. Ele é composto pelas derivadas parciais de
em relação a cada variável. Por exemplo, se
, então:
Passo 3
Agora, a derivada direcional de
na direção de um vetor unitário
é dada pelo produto escalar entre o gradiente de
e
:
Isso nos diz como
muda na direção de
.
Passo 4
Se a direção
for ortogonal ao gradiente
, isso significa que o ângulo entre eles é de 90 graus. E sabemos que o produto escalar entre dois vetores é dado por:
Onde
é o ângulo entre os vetores.
Passo 5
Como
é ortogonal a
, temos que
. E sabemos que
. Portanto:
Passo 6
Lembrando que a derivada direcional
é igual a
, concluímos que:
Isso significa que na direção ortogonal ao gradiente, a função
não varia; ou seja, a variação é zero.
Resposta
Qualquer direção
ortogonal ao gradiente
resulta em uma variação zero na função
, ou seja,
.
Exercícios relacionados
30
Calcule a área da região delimitada por
e
.
Calcule a área da região
20
Calcule
Calcule
36
Calcule
Calcule
onde
é a região delimitada superiormente pela esfera
e inferiormente pelo cône
.
41
Sabemos que a derivada direcional .
(a) Mostre que a função aumenta mais rapidadmente quando
é o versor de
. Calcule a derivada nessa direção.
Sabemos que a derivada direcional
(a) Mostre que a função