© Mostre que qualquer direcção ortogonal ao gradiente é uma direç̧ão de variação zero em .

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para mostrar que qualquer direção que seja ortogonal ao gradiente de resulta em uma variação zero na função . Estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com derivadas direcionais e gradientes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o gradiente, derivada direcional e o que significa ser ortogonal.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função , denotado por , é um vetor que aponta na direção de maior aumento de . Ele é composto pelas derivadas parciais de em relação a cada variável. Por exemplo, se , então:

Passo 3

Agora, a derivada direcional de na direção de um vetor unitário é dada pelo produto escalar entre o gradiente de e :
Isso nos diz como muda na direção de .

Passo 4

Se a direção for ortogonal ao gradiente , isso significa que o ângulo entre eles é de 90 graus. E sabemos que o produto escalar entre dois vetores é dado por:
Onde é o ângulo entre os vetores.

Passo 5

Como é ortogonal a , temos que . E sabemos que . Portanto:

Passo 6

Lembrando que a derivada direcional é igual a , concluímos que:
Isso significa que na direção ortogonal ao gradiente, a função não varia; ou seja, a variação é zero.

Resposta

Qualquer direção ortogonal ao gradiente resulta em uma variação zero na função , ou seja, .

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Calcule a área da região delimitada por e .
20
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36
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41
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(a) Mostre que a função aumenta mais rapidadmente quando é o versor de . Calcule a derivada nessa direção.