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Considere os seguintes subespaços de R^4 :
U=(x, y, z, t) in R^4 mid x+y-z+t=0 e z-t=0 e W=(x, y, z, t) in R^4 mid x+y+z=0
a) Determine uma base para U+W.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente vai trabalhar com subespaços vetoriais no espaço . O objetivo aqui é encontrar uma base para a soma dos subespaços . Para isso, vamos precisar entender bem o que cada subespaço representa e como combiná-los.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no subespaço x + y - z + t = 0 z - t = 0 . Ele é definido por duas equações:
x + y - t + t = x + y = 0 implies x = -y
Vamos resolver esse sistema para expressar algumas variáveis em termos das outras.
Da segunda equação x = -y, z = t , temos que (x, y, z, t) = (-y, y, t, t) = y(-1, 1, 0, 0) + t(0, 0, 1, 1) .
Substituindo Base de U = , (-1,,1,,0,,0),; (0,,0,,1,,1) , por na primeira equação:
Então, podemos expressar as variáveis em termos de e :
Portanto, todo vetor em pode ser escrito como:
Isso nos dá uma base para :

Passo 3

Agora, vamos analisar o subespaço x + y + z = 0 , que é definido por uma única equação:
x = -y - z
Aqui, podemos resolver para uma das variáveis em termos das outras. Vamos resolver para (x, y, z, t) = (-y - z,, y,, z,, t) = y(-1,,1,,0,,0) + z(-1,,0,,1,,0) + t(0,,0,,0,,1) :
Base de W = , (-1,,1,,0,,0),; (-1,,0,,1,,0),; (0,,0,,0,,1) ,
Então, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Isso nos dá uma base para :

Passo 4

Para encontrar , (-1,,1,,0,,0),; (0,,0,,1,,1),; (-1,,1,,0,,0),; (-1,,0,,1,,0),; (0,,0,,0,,1) , , precisamos combinar as bases de , (-1,,1,,0,,0),; (0,,0,,1,,1),; (-1,,0,,1,,0),; (0,,0,,0,,1) , e -1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 e encontrar uma base para esse conjunto combinado.
Vamos juntar as duas bases:
Observamos que o vetor está repetido, então podemos eliminá-lo:
Agora, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Se forem, eles formam uma base para . Para simplificar, vamos montar uma matriz com esses vetores e calcular seu posto:
Após procedimentos de escalonamento, vemos que todas as colunas são pivôs, indicando que os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Uma base para é formada pelos vetores .

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