Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente vai trabalhar com subespaços vetoriais no espaço . O objetivo aqui é encontrar uma base para a soma dos subespaços . Para isso, vamos precisar entender bem o que cada subespaço representa e como combiná-los.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no subespaço . Ele é definido por duas equações:
Vamos resolver esse sistema para expressar algumas variáveis em termos das outras.
Da segunda equação , temos que .
Substituindo por na primeira equação:
Então, podemos expressar as variáveis em termos de e :
Portanto, todo vetor em pode ser escrito como:
Isso nos dá uma base para :
Passo 3
Agora, vamos analisar o subespaço , que é definido por uma única equação:
Aqui, podemos resolver para uma das variáveis em termos das outras. Vamos resolver para :
Então, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Isso nos dá uma base para :
Passo 4
Para encontrar , precisamos combinar as bases de e e encontrar uma base para esse conjunto combinado.
Vamos juntar as duas bases:
Observamos que o vetor está repetido, então podemos eliminá-lo:
Agora, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Se forem, eles formam uma base para . Para simplificar, vamos montar uma matriz com esses vetores e calcular seu posto:
Após procedimentos de escalonamento, vemos que todas as colunas são pivôs, indicando que os vetores são linearmente independentes.