Considere o seguinte subconjunto do espaço vetorial real
Mostre que U é um subespaço vetorial de . Exiba uma base para o subespaço .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema nos pede para mostrar que o conjunto , formado por matrizes simétricas de com traço zero, é um subespaço vetorial do espaço . Além disso, precisamos encontrar uma base para esse subespaço. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaços vetoriais, subespaços, matrizes simétricas e o conceito de traço de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é chamado de subespaço vetorial se:
Contém o vetor nulo: ou seja, a matriz nula pertence a .
É fechado sob adição: se duas matrizes estão em , a soma delas também está em .
É fechado sob multiplicação por escalar: se uma matriz está em , qualquer múltiplo dela também está em .
Então, vamos verificar esses três pontos para o conjunto .
Passo 3
1. Contém a matriz nula:
A matriz nula é uma matriz onde todos os elementos são zero. Ela é simétrica porque (já que todas as posições são iguais) e seu traço é zero (somatória dos elementos da diagonal principal). Portanto, a matriz nula pertence a .
Passo 4
2. Fechamento sob adição:
Vamos considerar duas matrizes e que pertencem a . Isso significa que:
e
e
Queremos ver se também pertence a .
Primeiro, verificamos a simetria:
Então, é simétrica.
Agora, o traço:
Portanto, também tem traço zero e pertence a .
Passo 5
3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Agora, vamos considerar uma matriz que pertence a e um escalar qualquer.
Queremos verificar se também pertence a .
Primeiro, a simetria:
Então, é simétrica.
Agora, o traço:
Assim, também tem traço zero e pertence a .
Passo 6
Como verificamos que contém a matriz nula, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, podemos concluir que é realmente um subespaço vetorial de .
Agora, vamos encontrar uma base para . Uma base é um conjunto de vetores (no nosso caso, matrizes) que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço .
Sabemos que uma matriz simétrica tem 6 entradas independentes (já que ). Além disso, a condição impõe uma restrição, reduzindo o número de vetores na base para 5.
Vamos então construir essas 5 matrizes:
Matriz 1:
Aqui, .
Matriz 2:
Esta matriz é simétrica e .
Matriz 3:
Simétrica e com traço zero.
Matriz 4:
Simétrica e .
Matriz 5:
Simétrica e com traço zero.
Essas cinco matrizes são linearmente independentes e qualquer matriz em pode ser escrita como uma combinação linear delas.
Resposta
Portanto, 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 , 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 , 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 , 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 é um subespaço vetorial de e uma base para é o conjunto das seguintes matrizes: