Considere o seguinte subconjunto do espaço vetorial real M3(R)
U=A in M3(R) mid A^t=A e tr(A)=0
Mostre que U é um subespaço vetorial de M3(R). Exiba uma base para o subespaço U.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema nos pede para mostrar que o conjunto , formado por matrizes simétricas de com traço zero, é um subespaço vetorial do espaço . Além disso, precisamos encontrar uma base para esse subespaço. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaços vetoriais, subespaços, matrizes simétricas e o conceito de traço de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é chamado de subespaço vetorial se:
  1. Contém o vetor nulo: ou seja, a matriz nula pertence a .
  2. É fechado sob adição: se duas matrizes estão em , a soma delas também está em .
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: se uma matriz está em , qualquer múltiplo dela também está em .
Então, vamos verificar esses três pontos para o conjunto .

Passo 3

1. Contém a matriz nula:
A matriz nula é uma matriz onde todos os elementos são zero. Ela é simétrica porque (já que todas as posições são iguais) e seu traço é zero (somatória dos elementos da diagonal principal). Portanto, a matriz nula pertence a .

Passo 4

2. Fechamento sob adição:
Vamos considerar duas matrizes (A + B)^t = A^t + B^t = A + B e tr(A + B) = tr(A) + tr(B) = 0 + 0 = 0 que pertencem a . Isso significa que:
  • e
  • e
Queremos ver se também pertence a .
Primeiro, verificamos a simetria:
Então, é simétrica.
Agora, o traço:
Portanto, também tem traço zero e pertence a .

Passo 5

3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Agora, vamos considerar uma matriz (kA)^t = kA^t = kA que pertence a tr(kA) = k cdot tr(A) = k cdot 0 = 0 e um escalar qualquer.
Queremos verificar se também pertence a .
Primeiro, a simetria:
Então, é simétrica.
Agora, o traço:
Assim, também tem traço zero e pertence a .

Passo 6

Como verificamos que E1 = 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 contém a matriz nula, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, podemos concluir que E2 = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 é realmente um subespaço vetorial de E3 = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 .
Agora, vamos encontrar uma base para E4 = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 . Uma base é um conjunto de vetores (no nosso caso, matrizes) que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço E5 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 .
Sabemos que uma matriz simétrica tem 6 entradas independentes (já que ). Além disso, a condição impõe uma restrição, reduzindo o número de vetores na base para 5.
Vamos então construir essas 5 matrizes:
  1. Matriz 1:
Aqui, .
  1. Matriz 2:
Esta matriz é simétrica e .
  1. Matriz 3:
Simétrica e com traço zero.
  1. Matriz 4:
Simétrica e .
  1. Matriz 5:
Simétrica e com traço zero.
Essas cinco matrizes são linearmente independentes e qualquer matriz em pode ser escrita como uma combinação linear delas.

Resposta

Portanto, 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 , 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 , 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 , 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 é um subespaço vetorial de e uma base para é o conjunto das seguintes matrizes:

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