Sejam a e b dois números racionais e
um número irracional. Prove que:
Passo 1
Então, a gente tem uma equação onde
e
são números racionais, e
é um número irracional. A tarefa é provar que se
, então necessariamente
e
. Vamos usar conhecimentos de álgebra, especialmente sobre números racionais e irracionais, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que
. Queremos mostrar que isso só acontece se
e
forem ambos zero.
Passo 3
A gente sabe que
e
são racionais, ou seja, podem ser escritos como frações de inteiros. A
é irracional, o que significa que não pode ser escrita como uma fração de inteiros.
Passo 4
Se rearranjarmos a equação
, temos
.
Passo 5
Dividindo ambos os lados por
(desde que
), obtemos
.
Passo 6
Mas aqui está o problema:
seria igual a uma razão de dois números racionais (
), o que tornaria
um número racional. Isso contraria a informação de que
é irracional.
Passo 7
Portanto, nossa suposição de que
leva a uma contradição. A única solução possível é que
.
Passo 8
Se
, voltando à equação original
, temos
.
Resposta
Concluímos que
e
são as únicas soluções para a equação
.