Sejam a e b dois números racionais e alpha um número irracional. Prove que:
a+b alpha=0 Leftrightarrow a=b=0

Passo 1

Então, a gente tem uma equação onde e são números racionais, e é um número irracional. A tarefa é provar que se , então necessariamente e . Vamos usar conhecimentos de álgebra, especialmente sobre números racionais e irracionais, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que . Queremos mostrar que isso só acontece se e forem ambos zero.

Passo 3

A gente sabe que e são racionais, ou seja, podem ser escritos como frações de inteiros. A é irracional, o que significa que não pode ser escrita como uma fração de inteiros.

Passo 4

Se rearranjarmos a equação , temos .

Passo 5

Dividindo ambos os lados por (desde que ), obtemos .

Passo 6

Mas aqui está o problema: seria igual a uma razão de dois números racionais ( ), o que tornaria um número racional. Isso contraria a informação de que é irracional.

Passo 7

Portanto, nossa suposição de que leva a uma contradição. A única solução possível é que .

Passo 8

Se , voltando à equação original , temos .

Resposta

Concluímos que e são as únicas soluções para a equação .

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