Prove que existem irracionais
tais que (
) seja racional.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que existem números irracionais
e
de forma que
seja racional. A matéria envolvida aqui é a teoria dos números, especificamente sobre números irracionais e potências. Para resolver isso, vamos usar um raciocínio lógico simples e algumas propriedades dos números irracionais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são números irracionais. Um número irracional é aquele que não pode ser expresso como uma fração de dois inteiros, ou seja, não pode ser escrito na forma
, onde
e
são números inteiros e
. Exemplos clássicos são
e
.
Passo 3
Agora, vamos considerar o número
, que sabemos ser irracional. Vamos levantar a seguinte questão: o que acontece com
? Será que esse número é racional ou irracional? Aí está o ponto chave do nosso exercício.
Passo 4
Pela teoria, se
for racional, então já temos nossos números
e :
e
, pois a potência
seria racional.
Passo 5
Mas e se
for irracional? Nesse caso, vamos definir
e
. Agora, vamos calcular
, que é um número racional.
Resposta
Portanto, existem números irracionais
e
tais que
é racional. Se
for racional, escolhemos
e
. Se for irracional, escolhemos
e
, garantindo que
, que é racional.