Prove que existem irracionais alpha, beta tais que ( alpha^beta ) seja racional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que existem números irracionais e de forma que seja racional. A matéria envolvida aqui é a teoria dos números, especificamente sobre números irracionais e potências. Para resolver isso, vamos usar um raciocínio lógico simples e algumas propriedades dos números irracionais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são números irracionais. Um número irracional é aquele que não pode ser expresso como uma fração de dois inteiros, ou seja, não pode ser escrito na forma , onde e são números inteiros e . Exemplos clássicos são e .

Passo 3

Agora, vamos considerar o número , que sabemos ser irracional. Vamos levantar a seguinte questão: o que acontece com ? Será que esse número é racional ou irracional? Aí está o ponto chave do nosso exercício.

Passo 4

Pela teoria, se for racional, então já temos nossos números e : e , pois a potência seria racional.

Passo 5

Mas e se for irracional? Nesse caso, vamos definir e . Agora, vamos calcular , que é um número racional.

Resposta

Portanto, existem números irracionais e tais que é racional. Se for racional, escolhemos e . Se for irracional, escolhemos e , garantindo que , que é racional.

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