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Nos exercícios 20. a 32., conclua que o limite não existe ou, se existir, determine seu valor.
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Nos exercícios 20. a 32., conclua que o limite não existe ou, se existir, determine seu valor.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos lidando com um limite em duas variáveis,
e
, que estão se aproximando de zero. A matéria envolvida é cálculo de limites multivariáveis e, para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam quando as variáveis se aproximam de um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da função seno:
. Conforme
e
se aproximam de zero,
também tende a zero, o que faz com que
cresça sem limites, ou seja, tende ao infinito.
Passo 3
Sabemos que a função seno, , oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de
. Mesmo que
cresça sem limites, o valor de sempre estará dentro desse intervalo: .
Passo 4
Agora, vamos multiplicar essa oscilação pelo termo
, que está na frente da função seno. Como
está se aproximando de zero, o produto vai depender de como
interage com a função seno.
Passo 5
Vamos usar uma propriedade dos limites que diz que se
e
tende a zero, então
. No nosso caso, temos:
Passo 6
Como
está se aproximando de zero, obviamente
também tende a zero. Portanto, pelo critério de comparação que mencionamos, o limite do nosso produto também tende a zero.