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Nos exercícios 20. a 32., conclua que o limite não existe ou, se existir, determine seu valor.
20. lim substackx 0 y 0 x sen(1x^2+y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos lidando com um limite em duas variáveis, e , que estão se aproximando de zero. A matéria envolvida é cálculo de limites multivariáveis e, para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam quando as variáveis se aproximam de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da função seno: . Conforme e se aproximam de zero, também tende a zero, o que faz com que cresça sem limites, ou seja, tende ao infinito.

Passo 3

Sabemos que a função seno, , oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de . Mesmo que cresça sem limites, o valor de sempre estará dentro desse intervalo: .

Passo 4

Agora, vamos multiplicar essa oscilação pelo termo , que está na frente da função seno. Como está se aproximando de zero, o produto vai depender de como interage com a função seno.

Passo 5

Vamos usar uma propriedade dos limites que diz que se |x cdot sen(1x^2+y^2)| <= |x| cdot |sen(1x^2+y^2)| <= |x| cdot 1 = |x| e tende a zero, então . No nosso caso, temos:

Passo 6

Como está se aproximando de zero, obviamente também tende a zero. Portanto, pelo critério de comparação que mencionamos, o limite do nosso produto também tende a zero.

Resposta

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