Para cada uma das funções
definidas abaixo, calcule
,
e
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de segunda ordem para a função
. Ou seja, vamos encontrar:
Para isso, vamos usar as regras de derivação para funções de duas variáveis, como a regra do quociente e a regra da cadeia.
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é:
Usamos a regra do quociente, que diz que:
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas:
Aplicando na regra:
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Usando novamente a função:
E a regra do quociente:
Passo 4
Vamos continuar com a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Já temos:
Agora, derivamos novamente em relação a
:
Vamos aplicar a regra do quociente mais uma vez:
-
⇒ -
⇒
Aplicando na regra:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Já temos:
Derivando novamente em relação a
:
Aplicamos a regra do quociente:
-
⇒ -
⇒
Aplicando na regra:
Simplificando:
Passo 6
Por fim, vamos calcular a derivada parcial mista
.
Já temos:
Agora, derivamos essa expressão em relação a
:
Aplicando a regra do quociente:
-
⇒ -
⇒
Aplicando na regra:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais solicitadas são: