Para cada uma das funções z=f(x, y) definidas abaixo, calcule partial zpartial x, partial zpartial y, partial^2 zpartial x^2, partial^2 zpartial y^2 e partial^2 zpartial x partial y
c) z=xx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de segunda ordem para a função . Ou seja, vamos encontrar:
Para isso, vamos usar as regras de derivação para funções de duas variáveis, como a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de z = xx^2 + y^2 em relação a ddx(uv) = v cdot dudx - u cdot dvdxv^2 , ou seja, dudx = 1 .
A função é:
dvdx = 2x
Usamos a regra do quociente, que diz que:
partial zpartial x = (x^2 + y^2) cdot 1 - x cdot 2x(x^2 + y^2)^2
Aqui, = x^2 + y^2 - 2x^2(x^2 + y^2)^2 e = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2 .
Calculando as derivadas:
Aplicando na regra:

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de z = xx^2 + y^2 em relação a partial zpartial y = (x^2 + y^2) cdot 0 - x cdot 2y(x^2 + y^2)^2 , ou seja, = 0 - 2xy(x^2 + y^2)^2 .
Usando novamente a função:
= -2xy(x^2 + y^2)^2
E a regra do quociente:

Passo 4

Vamos continuar com a segunda derivada parcial de partial zpartial x = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2 em relação a partial^2 zpartial x^2 = ddx(-x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2) , ou seja, partial^2 zpartial x^2 = (x^2 + y^2)^2 cdot (-2x) - (-x^2 + y^2) cdot 4x(x^2 + y^2)(x^2 + y^2)^4 .
Já temos:
= -2x(x^2 + y^2)^2 + 4x(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)(x^2 + y^2)^4
Agora, derivamos novamente em relação a = 2x(- (x^2 + y^2)^2 + 2(x^2 - y^2)(x^2 + y^2))(x^2 + y^2)^4 :
= 2x(-x^4 - 2x^2y^2 - y^4 + 2x^4 - 2y^4)(x^2 + y^2)^4
Vamos aplicar a regra do quociente mais uma vez:
  • = 2x(x^4 - 2x^2y^2 - 3y^4)(x^2 + y^2)^4
Aplicando na regra:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial zpartial y = -2xy(x^2 + y^2)^2 em relação a partial^2 zpartial y^2 = ddy(-2xy(x^2 + y^2)^2) , ou seja, partial^2 zpartial y^2 = (x^2 + y^2)^2 cdot (-2x) - (-2xy) cdot 4y(x^2 + y^2)(x^2 + y^2)^4 .
Já temos:
= -2x(x^2 + y^2)^2 + 8xy^2(x^2 + y^2)(x^2 + y^2)^4
Derivando novamente em relação a = 2x(- (x^2 + y^2)^2 + 4y^2(x^2 + y^2))(x^2 + y^2)^4 :
= 2x(-x^4 - 2x^2y^2 - y^4 + 4x^2y^2 + 4y^4)(x^2 + y^2)^4
Aplicamos a regra do quociente:
  • = 2x(-x^4 + 2x^2y^2 + 3y^4)(x^2 + y^2)^4
Aplicando na regra:
Simplificando:

Passo 6

Por fim, vamos calcular a derivada parcial mista partial zpartial x = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2 .
Já temos:
partial^2 zpartial x partial y = ddy(-x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2)
Agora, derivamos essa expressão em relação a partial^2 zpartial x partial y = (x^2 + y^2)^2 cdot 2y - (-x^2 + y^2) cdot 4y(x^2 + y^2)(x^2 + y^2)^4 :
= 2y(x^2 + y^2)^2 + 4y(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)(x^2 + y^2)^4
Aplicando a regra do quociente:
  • = 2y(x^4 + 2x^2y^2 + y^4) + 4y(x^4 - y^4)(x^2 + y^2)^4 = 2yx^4 + 4x^2y^3 + 2y^5 + 4yx^4 - 4y^5(x^2 + y^2)^4
  • = 6yx^4 + 4x^2y^3 - 2y^5(x^2 + y^2)^4
Aplicando na regra:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais solicitadas são:
partial zpartial x = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2
partial zpartial y = -2xy(x^2 + y^2)^2
partial^2 zpartial x^2 = 2x(x^4 - 2x^2y^2 - 3y^4)(x^2 + y^2)^4
partial^2 zpartial y^2 = 2x(-x^4 + 2x^2y^2 + 3y^4)(x^2 + y^2)^4
partial^2 zpartial x partial y = 6yx^4 + 4x^2y^3 - 2y^5(x^2 + y^2)^4

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