Determine o volume do sólido limitado acima pelo parabolóide , abaixo pelo plano e lateralmente pelo cilindro
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o volume de um sólido que está limitado de três jeitos:
Acima pelo parabolóide .
Abaixo pelo plano (que é o plano xy).
Lateralmente pelo cilindro .
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas polares, já que as equações envolvem círculos e paraboloides.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região lateralmente delimitada pelo cilindro . Podemos reescrever essa equação para facilitar:
Isso mostra que o cilindro é um círculo no plano xy com centro em (0,1) e raio 1. Isso vai nos ajudar a definir os limites de integração.
Passo 3
Como estamos lidando com círculos, é mais fácil usar coordenadas polares. Lembre-se que em coordenadas polares:
Vamos também transformar a equação do cilindro para coordenadas polares:
Então, o raio varia de 0 até , e o ângulo varia de 0 a para cobrir o círculo completo.
Passo 4
Agora, vamos expressar as superfícies que limitam o sólido em coordenadas polares:
O parabolóide:
O plano:
O volume entre essas superfícies pode ser encontrado integrando de 0 até sobre a região definida pelo cilindro.
Passo 5
A integral para o volume em coordenadas polares fica assim:
Aqui, é a diferença entre as superfícies (parabolóide e plano), e multiplicamos por porque o elemento de área em coordenadas polares é .
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, a integral fica:
Passo 7
Para resolver , podemos usar a identidade de redução: