Determine o volume do sólido limitado acima pelo parabolóide , abaixo pelo plano e lateralmente pelo cilindro

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o volume de um sólido que está limitado de três jeitos:
  1. Acima pelo parabolóide .
  2. Abaixo pelo plano (que é o plano xy).
  3. Lateralmente pelo cilindro .
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas polares, já que as equações envolvem círculos e paraboloides.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região lateralmente delimitada pelo cilindro . Podemos reescrever essa equação para facilitar:
Isso mostra que o cilindro é um círculo no plano xy com centro em (0,1) e raio 1. Isso vai nos ajudar a definir os limites de integração.

Passo 3

Como estamos lidando com círculos, é mais fácil usar coordenadas polares. Lembre-se que em coordenadas polares:
Vamos também transformar a equação do cilindro para coordenadas polares:
Então, o raio varia de 0 até , e o ângulo varia de 0 a para cobrir o círculo completo.

Passo 4

Agora, vamos expressar as superfícies que limitam o sólido em coordenadas polares:
  • O parabolóide:
  • O plano:
O volume entre essas superfícies pode ser encontrado integrando de 0 até sobre a região definida pelo cilindro.

Passo 5

A integral para o volume em coordenadas polares fica assim:
Aqui, é a diferença entre as superfícies (parabolóide e plano), e multiplicamos por porque o elemento de área em coordenadas polares é .

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, a integral fica:

Passo 7

Para resolver , podemos usar a identidade de redução:
Então, a integral se torna:

Passo 8

Calculando nos limites de a :
  • Para :
  • Para :
Então, a diferença é .
Multiplicando pelos 4 fora:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

20
Nos exercícios 20. a 32., conclua que o limite não existe ou, se existir, determine seu valor.
20.
Calcule o valor dos seguintes limites envolvendo infinito:
(e) .
Para cada uma das funções definidas abaixo, calcule , e
c)
Esboce e descreva o sólido cujo volume é dado pela integral .