Apresente uma base para os seguintes subespaços vetoriais:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente apresentar uma base para o espaço vetorial
. A matéria que vamos usar aqui é álgebra linear, especificamente o conceito de base de um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base e como escolher vetores que a compõe.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que gera todo o espaço e que os vetores são linearmente independentes. Isso significa que qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base, e nenhum vetor da base pode ser escrito como combinação dos outros.
Passo 3
No caso de
, estamos lidando com vetores de 4 dimensões. Uma base padrão para
é composta por vetores que têm um 1 em uma posição e 0 nas outras. Esses vetores são chamados de vetores canônicos.
Passo 4
Vamos listar os vetores canônicos para
:
Esses quatro vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço
, satisfazendo assim os requisitos para uma base.
Passo 5
Com esses vetores, qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear deles. Por exemplo, o vetor
pode ser representado como:
Isso confirma que os vetores escolhidos realmente formam uma base para
.
Resposta
Uma base para
é:
Exercícios relacionados
Considere a reta
e o plano
.
© Determine a equação paramétrica da reta que é a projeção ortogonal da reta
sobre o plano
, isto é
está contida no plano
.
© Determine a equação paramétrica da reta
Verifique se a função apresentada abaixo é um operador linear.
Resp.: Sim.
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Mostre que o conjunto solução de um sistema linear homogêneo com
incógnitas é um subespaço vetorial de
.
Mostre que o conjunto solução de um sistema linear homogêneo
Sejam
e
bases de
, onde
(b) Sabendo que
, encontre
.