Apresente uma base para os seguintes subespaços vetoriais:
(d) R^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente apresentar uma base para o espaço vetorial . A matéria que vamos usar aqui é álgebra linear, especificamente o conceito de base de um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base e como escolher vetores que a compõe.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que gera todo o espaço e que os vetores são linearmente independentes. Isso significa que qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base, e nenhum vetor da base pode ser escrito como combinação dos outros.

Passo 3

No caso de , estamos lidando com vetores de 4 dimensões. Uma base padrão para é composta por vetores que têm um 1 em uma posição e 0 nas outras. Esses vetores são chamados de vetores canônicos.

Passo 4

Vamos listar os vetores canônicos para e1 &= (1, 0, 0, 0) e2 &= (0, 1, 0, 0) e3 &= (0, 0, 1, 0) e4 &= (0, 0, 0, 1) :
Esses quatro vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço , satisfazendo assim os requisitos para uma base.

Passo 5

Com esses vetores, qualquer vetor em ae1 + be2 + ce3 + de4 pode ser escrito como uma combinação linear deles. Por exemplo, o vetor pode ser representado como:
Isso confirma que os vetores escolhidos realmente formam uma base para .

Resposta

Uma base para , (1,,0,,0,,0),; (0,,1,,0,,0),; (0,,0,,1,,0),; (0,,0,,0,,1) , é:

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