Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Geometria Analítica. A gente precisa encontrar a equação paramétrica de uma reta que é a projeção ortogonal da reta sobre o plano . Ou seja, está totalmente dentro do plano . Para isso, a gente vai precisar entender como funciona a projeção de vetores e como trabalhar com equações de retas e planos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as equações que a gente tem. A reta está dada na forma simétrica:
E o plano é dado pela equação:
Vamos reescrever a equação da reta de uma forma mais amigável, usando parâmetros. A forma simétrica pode ser convertida para a forma vetorial paramétrica.
Passo 3
Vamos reescrever a equação de . A forma simétrica diz que todas as expressões são iguais a um parâmetro . Então, podemos escrever:
Resolvendo para cada coordenada em termos de :
Então, a forma paramétrica da reta é:
Passo 4
Agora, vamos identificar o vetor diretor da reta v = -1 -2 2 . Observando os coeficientes de nas equações paramétricas, temos que o vetor diretor é:
E o ponto por onde passa quando é .
Passo 5
Para projetar a reta n = 1 0 -1 sobre o plano , precisamos entender a direção da projeção. A projeção ortogonal de sobre o plano vai ser a direção da nova reta . Para isso, precisamos do vetor normal ao plano .
A equação do plano é . O vetor normal a esse plano é dado pelos coeficientes de , e na equação geral do plano . Assim,
Passo 6
A projeção do vetor vproj = v - ( v cdot nn cdot n ) n sobre o plano v cdot n = (-1)(1) + (-2)(0) + (2)(-1) = -1 + 0 - 2 = -3 é dada pela fórmula:
Agora, precisamos encontrar um ponto que pertence à reta P' = P - ( P cdot n + D n cdot n ) n . Vamos projetar o ponto P cdot n = (1)(1) + (0)(0) + (-1)(-1) = 1 + 0 + 1 = 2 da reta P' = (1, 0, -1) - ( 2 + 12 ) 1 0 -1 = (1, 0, -1) - 32 1 0 -1 = (1 - 32, 0 - 0, -1 + 32) = ( -12, 0, 12 ) sobre o plano .
A fórmula para a projeção de um ponto sobre o plano é:
Onde , e .
Calculando:
Então,
Então, o ponto de passagem da reta é .
Resposta
A equação paramétrica da reta x = -dfrac12 + dfrac12 t y = 0 - 2 t z = dfrac12 + dfrac12 t com t in R é: