Considere a reta r:-x+1=-y2=z+12 e o plano pi: x-z+1=0.
© Determine a equação paramétrica da reta s que é a projeção ortogonal da reta r sobre o plano pi, isto é s está contida no plano pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Geometria Analítica. A gente precisa encontrar a equação paramétrica de uma reta que é a projeção ortogonal da reta sobre o plano . Ou seja, está totalmente dentro do plano . Para isso, a gente vai precisar entender como funciona a projeção de vetores e como trabalhar com equações de retas e planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as equações que a gente tem. A reta -r + 1 = -y2 = z + 12 está dada na forma simétrica:
x - z + 1 = 0
E o plano é dado pela equação:
Vamos reescrever a equação da reta de uma forma mais amigável, usando parâmetros. A forma simétrica pode ser convertida para a forma vetorial paramétrica.

Passo 3

Vamos reescrever a equação de -r + 1 = t -y2 = t z + 12 = t . A forma simétrica diz que todas as expressões são iguais a um parâmetro - r + 1 = t Rightarrow r = 1 - t -y2 = t Rightarrow y = -2t z + 12 = t Rightarrow z = 2t - 1 . Então, podemos escrever:
x = 1 - t y = -2t z = 2t - 1
Resolvendo para cada coordenada em termos de :
Então, a forma paramétrica da reta é:

Passo 4

Agora, vamos identificar o vetor diretor da reta v = -1 -2 2 . Observando os coeficientes de nas equações paramétricas, temos que o vetor diretor é:
E o ponto por onde passa quando é .

Passo 5

Para projetar a reta n = 1 0 -1 sobre o plano , precisamos entender a direção da projeção. A projeção ortogonal de sobre o plano vai ser a direção da nova reta . Para isso, precisamos do vetor normal ao plano .
A equação do plano é . O vetor normal a esse plano é dado pelos coeficientes de , e na equação geral do plano . Assim,

Passo 6

A projeção do vetor vproj = v - ( v cdot nn cdot n ) n sobre o plano v cdot n = (-1)(1) + (-2)(0) + (2)(-1) = -1 + 0 - 2 = -3 é dada pela fórmula:
vproj = -1 -2 2 - ( -32 ) 1 0 -1 = -1 -2 2 + 32 1 0 -1 = -1 + 32 -2 + 0 2 - 32 = 12 -2 12
Calculando o produto escalar :
E
Então,
Então, o vetor diretor da reta é .

Passo 7

Agora, precisamos encontrar um ponto que pertence à reta P' = P - ( P cdot n + D n cdot n ) n . Vamos projetar o ponto P cdot n = (1)(1) + (0)(0) + (-1)(-1) = 1 + 0 + 1 = 2 da reta P' = (1, 0, -1) - ( 2 + 12 ) 1 0 -1 = (1, 0, -1) - 32 1 0 -1 = (1 - 32, 0 - 0, -1 + 32) = ( -12, 0, 12 ) sobre o plano .
A fórmula para a projeção de um ponto sobre o plano é:
Onde , e .
Calculando:
Então,
Então, o ponto de passagem da reta é .

Resposta

A equação paramétrica da reta x = -dfrac12 + dfrac12 t y = 0 - 2 t z = dfrac12 + dfrac12 t com t in R é:

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