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Mostre que
e
é isomorfo a
.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que o conjunto
de matrizes
com certas condições é isomorfo ao conjunto de polinômios de grau no máximo 1,
. Isso significa que existe uma correspondência que preserva a estrutura entre esses dois conjuntos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um isomorfismo e como construir essa correspondência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. O conjunto
é formado por todas as matrizes
de
que satisfazem:
Então, uma matriz
em
tem a forma:
onde
e
são números reais.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é
. Esse é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 1, ou seja, polinômios da forma:
onde
e
são números reais.
Passo 4
Para mostrar que
é isomorfo a
, precisamos construir uma função que associe cada matriz em
a um polinômio em
de maneira que essa função seja linear, injetora e sobrejetora.
Passo 5
Vamos definir a função
da seguinte forma:
Ou seja, cada matriz é mapeada para o polinômio onde
é o termo constante e
é o coeficiente de
.
Passo 6
Agora, vamos verificar se
é linear. Para isso, precisamos ver se ela satisfaz duas propriedades:
- Adição:
- Escalar:
Tomando duas matrizes
e
, temos:
Então,
E para um escalar
:
Então,
Portanto,
é linear.
Passo 7
Em seguida, vamos verificar se
é injetora. Isso significa que se
, então
. Se
então
O que implica que
e
. Logo,
, mostrando que
é injetora.
Passo 8
Agora, vamos ver se
é sobrejetora. Queremos que para todo polinômio
em
, exista uma matriz
em
tal que
. De fato, para qualquer
, podemos escolher a matriz:
e então
Portanto,
é sobrejetora.
Passo 9
Como
é linear, injetora e sobrejetora, ela é um isomorfismo entre
e
. Isso significa que os dois conjuntos têm a mesma estrutura algébrica.
Resposta
Portanto,
é isomorfo a
através da função
definida por: