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Mostre que W=A in M2 times 2(R): A11=A12 e A22=A21 é isomorfo a P1(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que o conjunto de matrizes com certas condições é isomorfo ao conjunto de polinômios de grau no máximo 1, . Isso significa que existe uma correspondência que preserva a estrutura entre esses dois conjuntos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um isomorfismo e como construir essa correspondência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é A11 = A12 e A22 = A21 . O conjunto A = a & a b & b é formado por todas as matrizes de que satisfazem:
Então, uma matriz em tem a forma:
onde e são números reais.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é p(x) = c0 + c1 x . Esse é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 1, ou seja, polinômios da forma:
onde e são números reais.

Passo 4

Para mostrar que é isomorfo a , precisamos construir uma função que associe cada matriz em a um polinômio em de maneira que essa função seja linear, injetora e sobrejetora.

Passo 5

Vamos definir a função phi( a & a b & b ) = a + b x da seguinte forma:
Ou seja, cada matriz é mapeada para o polinômio onde é o termo constante e é o coeficiente de .

Passo 6

Agora, vamos verificar se a & a b & b é linear. Para isso, precisamos ver se ela satisfaz duas propriedades:
  1. Adição: c & c d & d
  2. Escalar: A + B = a+c & a+c b+d & b+d
Tomando duas matrizes phi(A + B) = (a + c) + (b + d)x = (a + b x) + (c + d x) = phi(A) + phi(B) e kA = ka & ka kb & kb , temos:
phi(kA) = ka + kb x = k(a + b x) = kphi(A)
Então,
E para um escalar :
Então,
Portanto, é linear.

Passo 7

Em seguida, vamos verificar se phi( a & a b & b ) = phi( c & c d & d ) é injetora. Isso significa que se a + b x = c + d x , então . Se
então
O que implica que e . Logo, , mostrando que é injetora.

Passo 8

Agora, vamos ver se A = c0 & c0 c1 & c1 é sobrejetora. Queremos que para todo polinômio phi(A) = c0 + c1 x = p(x) em , exista uma matriz em tal que . De fato, para qualquer , podemos escolher a matriz:
e então
Portanto, é sobrejetora.

Passo 9

Como é linear, injetora e sobrejetora, ela é um isomorfismo entre e . Isso significa que os dois conjuntos têm a mesma estrutura algébrica.

Resposta

Portanto, phi( a & a b & b ) = a + b x é isomorfo a através da função definida por:

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